Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

так как

(с)' =

0

(формула

V I I ) , то окончательно

по-

лучаем

(cu)'

=

cu't

(III)

т.е. производная

от произведения

постоянной

величины

на

функцию

равна

произведению

этой

постоянной

и

производной

данной

функции.

постоян­

Часто это правило формулируют, говоря, что

ный

множитель

можно вынести

за

знак

производной.

§

48.

Производная

целой

положительной

степени.

Представим

степенную

функцию

у — хп,

где

п — целое

положительное число, в виде произведения

у =

X • X . .. X.

п

Воспользовавшись

теперь

правилом

(II*)

и

формулой

( V I I I ) ,

получим

у' —

1 < {Х ' X . . .

х) - f 1 • (х

• X. . .*) -Ь . . .

+

1 • (х

• X ...

х),

п—1

п—1

п—\

или

у'

=

ХП-1

+ Л ' " - '

+

. . .

+ * " - '

=

ПЛ.""-1 .

п

Итак, производная

целой

положительной

степени

хп

равна

показателю

степени,

умноженному

на

основа­

ние

X в

степени,

на

единицу

меньшей:

(xnY

= nxn-K

(IX*)

П Р И М Е Р

1. Продифференцировать

функцию у

=

хъ.

Р е ш е н и е .

Здесь п = 5. Поэтому

по формуле

(IX*) получаем

у' = 5х*.

П Р И М Е Р

2. Продифференцировать

функцию у =

V х.

156

Р е ш е н и е .

Так

как у = Ѵ~х =

х2,

то

по формуле

(IX)

полу-

чаем у

,

1

~ Т

> и л и

—~2Х

( / * ) ' = ' .

( i x » )

2 У X

В приложениях весьма часто приходится встречаться с необхо­

димостью дифференцировать

функцию

Ѵх~.

Поэтому

рекомендуем

в таких

случаях

не обращаться

всякий

раз

к общей формуле

( I X ) ,

а запомнить

формулу

(IX**) .

3

П Р И М Е Р 3. Продифференцировать

функцию у =

.

3

У*2

Р е ш е н и е . Представив

данную функцию в виде

у =

3-х

3 ,

по правилу ( I I I ) и формуле

(IX) находим

'

о (

2 \

~Ъ

2

xfx2

§ 49. Производная алгебраической суммы функций.

Пусть

у =

и±ѵ,

где и

и и — функции аргумента

х,

которые при

рассмат­

риваемом значении х имеют производные и' и ѵ'.

Следуя общему правилу дифференцирования, будем

иметь:

1)

у =

и±ѵ.

аргументу х

приращение Ах;

и, ѵ

2)

Придадим

тогда

Новые

значения

этих

функций: и + Ди, u-f-Af, у-{-_Ау,

связаны

соотношением-

у +

Ау =

(и + Au) ± (ѵ + Аѵ).

3) _у + Ау — и + Au ± V ± Аѵ

у

—и

± У

Д# — Au ±

Аѵ.

Ах~~

Ах ~

Ах'

_ ч

~

по

условию,

, .

Д а

,

hm

До

f

,

Б) Так как,

lim

—

= и',

-г— =

ѵ

•

Лх->0

Ü X

Ах->0

а

А

то, по

теореме

о

пределе

алгебраической

суммы,

полу­

чаем

у ' =

и ' ± ѵ ' ш

(1)

П Р И М Е Р .

Найти производную функции у = х2 +

Р е ш е н и е .

По правилу (I) имеем

Вычитая

из

этого

равенства

почленно

равенство

у — -^-,

находим

Ау:

.

и + Да

и

Au • У — До • и

Далее,

У

V + До

V

V2 + Аѵѵ

'

Au

До

Ау

Ах

Ах

Ах

V2 +

До

• V

*

По

условию,

lim ~

=

ur,

lim

~

=

vf;

далее, и и

д*->о й х

д*->о

а

х

V — величины

постоянные

при

данном

х

и Д х - » 0 ;

V2 ф О и До^*и,

когда

Д х - » 0 .

Следовательно, в

силу

теорем теории

пределов,

получаем:

/

I l m

Ä "

А о

у/.

]

j m Ay

Ax->0

°

Ax

&X-+0

Ax

Д*-»0

A

*

2

+

Д*-»0 * »

l i m

или

vif

— uv'

(V)

Соотношение

(V)

можно

сформулировать

следую­

щим

образом: чтобы получить

производную

дроби,

надо

умножить

знаменатель

на

производную

числителя,

вы­

честь

отсюда

произведение

числителя

на

производную

знаменателя и полученный

результат поделить

на

квад­

рат

знаменателя.

и =

с,

В

частности,

если

где с — постоянная

вели­

чина, то по формуле (V) получаем

( * ) '

или, так как с' =

О,

Если

же

V = с,

то

у = -j ;

никогда

не

следует

дифференцировать по формуле

(V) дробь,

знаменатель