Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

ГЛАВА VI

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 44. Таблица основных формул. Правило дифферен­ цирования, данное нами в § 41, является основным, по­ тому что оно выведено из самого о п р е д е л е н и я производной. Однако если для несложных выражений пользование основным правилом не представляет осо­ бого труда, то для сложных выражений, состоящих из комбинаций функций, например для выражений, пред­ ставляющих собою сумму функций или их произведение, или частное, применение общего правила может ока­ заться делом весьма кропотливым. Естественно поэтому, отправляясь от общего правила, установить раз навсегда дополнительно специальные правила дифференцирова­ ния суммы функций, произведения и частного и правило дифференцирования так называемых сложных функций (см. § 51).

Выпишем прежде всего таблицу правил и основных формул дифференцирования. Символ ( ) ' обозначает, что от выражения, стоящего в скобках, берется производная.

Если и и и — некоторые функции от х, имеющие про­ изводные при рассматриваемых значениях х, а с — по­ стоянная, то

151

Целью настоящей главы является вывод правил и формул, приведенных в этой таблице, и овладение тех­ никой дифференцирования, т. е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных вы­ ражений.

§ 45. Производная постоянной величины. Постоянную

152

с — О— ось Ох). Любой точке х оси абсцисс соответ­ ствует ордината у точки этой прямой, равная числу с (рис. 51). Таким образом, рассматривая постоянную ве­ личину с как переменную, мы можем представлять себе постоянную с как функцию у = с, принимающую одно и то же значение с при любом значении аргумента х.

Возьмем произвольное значение аргумента х; при­ дадим этому значению аргумента приращение Дх. Так как функция у сохраняет одно и то же значение с при любом значении аргумента, то у + Ау = с (рис. 51); отсюда Ау = с — у, т. е.

Ау — с — с = 0

и

Полученный результат легко объясним и с геометри­ ческой точки зрения. Геометрический смысл производ­ ной состоит в том, что она является угловым коэффи­ циентом касательной к кривой в данной точке. Но так как в данном случае линия есть прямая, то касательная

?/' = (C )' = tgO° = 0.

§ 46. Производная функция // = х. Следуя общему правилу дифференцирования (§41), получаем

1)У = х.

2)у + Ау = х + Ах.

3) Ау = Ах.

153

Итак,

(VIII)

Полученный результат согласуется с геометрическим смыслом производной: функция у — х геометрически изо­ бражается в виде биссектрисы первого координатного угла; так как касательная к прямой в каждой ее точке совпадает с самой прямой, то угловой коэффициент ка­ сательной к прямой у = X в каждой точке равен 1.

Следуя общему правилу дифференцирования, при­ дадим рассматриваемому значению аргумента х прира­ щение АЛ:; тогда функции и, о и у получат, соответ­ ственно, приращения Au, Аѵ и Ay и перейдут от исход­ ных значений и, ѵ и у к значениям и-{-Au, ѵ + Аѵ, у + Ау. Новые значения этих функций связаны соотно­ шением

у + Ау = (и + Au) (о + Аѵ),

или

у + Ay = иѵ + Au • о + Au • и + Au • Av.

Вычитая отсюда почленно равенство у = ии, находим

Ау:

Ау = Au • о + До • и + Au • До. Составляем отношение 4^-:

Когда Ax—*0, ТО начальное значение х, при котором мы вычисляем производную, остается неизменным; при Ал:—»-0 и неизменном значении х сохраняют постоянные значения и функции и и ѵ. Поэтому

154

четырех функций мы можем представить как произве­

3. Если г/ = си, где с — постоянный множитель, то, дифференцируя это произведение по правилу ( I I ) , на­ ходим

у' = с'и -f- си',

155