Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 2
функции у = х2 в точке х — -^. Дифференцируя функ
цию у = X 2 |
по общему |
правилу, |
находим |
производную |
||||||||
функцию: у' |
= |
2х. Следовательно, |
k = |
tf |
\ = |
2 • \ |
= |
|||||
у |
|
|
= 1. |
Таким |
|
образом, |
каса |
|||||
|
|
|
тельная |
к |
параболе в |
ее |
точ |
|||||
|
|
|
ке |
Мо(д5 |
т ) |
|
определяется |
|||||
|
|
|
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
2 |
, |
|
|
|
|
|
пли |
4х - |
|
Ау - |
1 = 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. |
50. |
|
Так |
как |
угловой |
коэффи |
||||||
|
циент касательной |
равен |
1, |
то |
||||||||
|
|
|
касательная |
к |
параболе |
у=х2, |
||||||
проведенная |
в |
точке (^, |
~ j , |
образует |
с осью |
Ох |
угол |
|||||
в 45° (рис. 50).
б) В этом случае касательная, как прямая, прохо
дящая |
через |
начало координат, |
определяется |
урав |
нением |
у = kx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
где k |
найдется |
как производная от функции у = |
х2 в |
|
точке |
X = 0. Беря производную от |
функции у = х2 , по |
||
лучаем |
г/ ' = 2 х . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив здесь х = 0, определяем угловой коэффициент касательной
/г = 0.
Следовательно, касательная выражается уравнением
У = 0.
Отсюда видим, что касательной к параболе у — х2 в ее вершине является ось Ох.
3. В § 41 (пример 5) мы нашли, что производная
линейной функции у — kx |
+ |
b |
равна |
коэффициенту k |
при любом значении х: у' |
= |
k. |
Этот |
результат вполне |
ясен с геометрической точка ^зрения: |
производная есть |
|||
146
угловой коэффициент касательной к графику функции. Так как графиком функции y — kx-^-b является пря мая с угловым коэффициентом k, а касательная к пря мой, проведенная в любой ее точке, совпадает с самой прямой, то и угловой коэффициент касательной оказы вается в данном случае величиной постоянной, равной угловому коэффициенту k прямой.
§ 43. Связь между существованием производной и непрерывностью функции. Изучая понятие производной, мы до сих пор оставляли в стороне вопрос о том, при каких условиях с у щ е с т в у е т производная в данной точке. Оказывается, что функция может иметь произ водную при данном значении аргумента только в том случае, если она н е п р е р ы в н а при этом значении ар гумента. Это утверждение вытекает из следующей тео ремы.
Т е о р е м а . |
Если функция |
у = |
f (х) |
имеет |
производ |
|||
ную f'(x0) |
при |
данном |
значении |
х = |
х0, |
то в |
точке х0 |
|
функция |
f(x) |
непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как |
f'(x^ |
— lim |
т о > |
|||
по определению |
предела, |
разность |
|
|
|
|
||
есть величина бесконечно малая при Ах—*0. Определяя из этого равенства приращение Ау, получаем
|
|
Ay — ff(x0) |
Алг-f-a |
• Ах, |
|
(15) |
где |
а -> 0, когда Ах —*• 0. |
При значении х = |
х0 |
произ |
||
водная f'(xo) |
есть величина |
постоянная. |
Значит, |
|||
f'(xQ) |
• Ах-+0, |
когда Ах—*0. |
Таким |
образом, при |
Ах-+0 |
|
оба слагаемых правой части формулы (15) стремятся к
нулю. Следовательно, |
и Д(/->0 |
при |
Д х - * 0 . А это и зна |
|
чит, что при данном |
значении |
х |
функция |
непрерывна |
(см. определение непрерывности функции в |
§ 37). |
|||
О б р а т н о е предложение |
оказывается |
неверным: |
||
функция, непрерывная в данной точке, может не иметь производной в этой точке. В § 61 мы встретимся с та кого рода случаем. Однако на практике мы будем иметь дело главным образом лишь с такими непрерывными функциями, которые во всех точках имеют производные.
1 47
У П Р А Ж Н Е Н И Я
К § 37. Найти:
1. lim |
Ѵх-2х |
+ |
3 |
* - > 4 |
У~25 - |
х2 + |
I |
п2 cos (л — х)
3. |
lim |
* 2 ~ |
1 |
4. |
lim |
*" ~ |
^ Х . |
Ѵх - \
К§§ 39 и 40.
Отв. — V2-
Отв. 4.
Отв. 3.
5. Определить скорость движения точки в конце третьей се кунды, если путь в s метров, пройденный точкой в t секунд, выра
жается |
так: &= |
2t3 — 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ore. |
54 |
м/с. |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
— 4t + 5, |
|
|
6. |
Когда скорость точки, движущейся по закону s = |
|||||||||||
равна |
нулю? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отв. При t = |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7. |
Определить скорость изменения функции |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
у = Зха - |
4х + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
х = |
— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ore. |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
8. |
Определить |
среднюю |
скорость |
изменения |
функции |
= ха — 3 |
||||||
при |
изменении |
х |
от х = |
2 |
до х = |
3,5 |
и найти |
скорость |
|
изменения |
|||
функции |
при X = |
2 и X = |
3,5. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Отв. 5,5; |
4; |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
К |
§§ |
41 |
и |
42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. / ( х ) = 4 г . |
Найти |
П О ) ; |
Г О ) ; |
f |
(-2); |
Г ( ^ 2 |
). |
||||||||
Ore. |
f (0) = 0; |
Г |
(1) = |
1; |
f ( - 2 ) = |
4; |
f |
( / F ) |
•= 2. |
|
|||||
11. |
/ (X) = |
1 . |
Найти |
f |
(2); |
f |
( - |
|
± ) ; |
f |
( / 2 ) . |
|
|||
Ore. |
f ( 2 ) = - l ; |
Г (~ |
-j) |
= |
- |
4; |
f 0^2 ) = |
- 1 . |
|||||||
12. |
Найти |
производную |
функцию |
от функции |
^ = |
х2 + 1. |
|||||||||
Ore. |
^ = |
2х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148
13. |
Найти |
производную |
функцию |
от |
функции |
|
|
|
|
у = |
2х2 — Ах+ |
2. |
|
Отв. |
у' |
= |
4х — 4. |
|
|
|
14. |
Найти |
производную функцию |
от |
функции # = — |
||
Отв. |
/ |
= |
|
|
|
|
Применяя правило дифференцирования, найти наклоны ниже следующих кривых в указанных точках и построить в этих точках
касательные |
к |
кривым: |
|
|
|
|
|
|
|||
15. у |
— |
хг |
— 4 в точке, абсцисса |
которой |
равна |
2. |
|||||
Отв. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. у |
= |
6 — хг |
в точке, абсцисса |
которой |
равна |
1. |
|||||
' Ога. |
—2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у = |
2 |
|
|
|
|
|
|
—2. |
||
17. |
— |
в |
точке, абсцисса которой равна |
||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
|
- |
- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. у = |
X — X2 |
в точке, абсцисса |
которой |
равна |
0. |
||||||
Отв. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
у = |
— — - |
в точке, |
абсцисса которой равна 3. |
|||||||
Отв. |
|
— |
—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
у = |
-£ X2 |
в точке, абсцисса |
которой |
равна |
4. |
|||||
Отв. |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. у = |
X2 |
— 2х + 3 в точке, абсцисса |
которой |
равна 1. |
|||||||
Отв. 0. |
9 — я 2 |
в точке, абсцисса |
которой |
равна |
|
— 3 . |
|||||
22. у |
= |
|
|||||||||
Отв. |
|
6. |
|
на |
кривой у = |
Зх3 — 4х2 |
точку, в |
которой касатель- |
|||
23. Найти |
|||||||||||
jt
пая к кривой образует с осью Ох угол — радианов.
24. К кривой, уравнение которой есть у = — 2 х 2 + 8х— 9, про ведена касательная, параллельная оси абсцисс. Определить коорди наты точки касания.
Отв. (2; —1). |
|
|
|
|
у = |
Ах2 |
+ |
Ах — 3 |
|
25. Найти |
уравнение |
касательной |
к |
кривой |
|||||
в точке, абсцисса |
которой |
равна — 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Отв. Ах + |
у + |
7 = 0. |
' |
|
|
|
|
|
|
26. Найти |
уравнение |
касательной |
к |
гиперболе |
у = |
— |
в |
точке, |
|
абсцисса которой равна 1,
Отв. X + у — 2 = 0.
149