Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 224
Скачиваний: 2
Доказано, что этот предел есть число иррациональ ное. Принято обозначать его буквой е.
Итак,
lim (1 + |
а ) ° = е . |
а->0 |
|
Число е имеет в анализе |
очень важное значение. В то |
время как для вычислительной практики за основание системы логарифмов удобно принять число 10, в теоре тических исследованиях удобнее пользоваться системой логарифмов, основанием которой является число е.
В дальнейшем натуральный логарифм числа N, т.е.
loge Л', мы будем обозначать символом In N. |
|
|
|
3. Пусть а — е и b — 10. Тогда |
согласно |
формулам, |
|
полученным в пункте 1, имеем |
|
|
|
log1 0 N = log, N • log1 0 е = log, N • lQg* |
,Q . |
|
|
Система логарифмов, в которой за основание |
принято |
||
число е, называется системой натуральных |
или |
неперо |
|
вых логарифмов. Модуль перехода |
от натуральной си |
||
стемы логарифмов к десятичной |
приближенно |
равен |
|
0,43429 . . . |
|
|
|
Таким образом,
log1 0 iV « log, N- 0,43429.
Аналогично,
loge iV = log|0 iV • loge 10 =
= l 0 ^ N • і З і Ь г ~ 1ЦШ ~ ^oN • 2,3021.
§ 55. Производная логарифмической функции. Про изводная функции у = logo X равна произведению вели чины, обратной аргументу х, на модуль системы лога рифмов:
<XogaxY = |
±logae. |
(XIV) |
Для случая а = е имеем |
logQ е = loge е = |
1, и фор |
мула (XIV) принимает вид |
|
|
(in * ) ' = • £ • . |
(V) |
|
170
т. е. |
производная |
функции у = In х равна |
обратной |
вели |
чине |
аргумента |
х. |
|
|
Формула (XV) имеет более простой вид, чем формула |
||||
(XIV); в этом |
обнаруживается одно |
из важных |
для |
|
математического анализа свойств натуральных лога рифмов.
Вывод формулы (XIV), ввиду его некоторой слож ности, выходит за рамки нашего курса. Тем не менее мы приведем этот вывод для наиболее подготовленных читателей.
Следуя общему правилу нахождения производной, имеем
1)ff=iogax.
2) |
у |
+ |
Ау=> |
l o g a |
(х + |
ДА). |
3) |
у |
+ |
Ау = |
Joga (х + |
Л*) |
|
|
|
|
Ачу = |
logo |
(А- + |
ДА) — l o g a X = logo-Х + Ах |
Чтобы найти предел отношения -—- при ДА -> 0, представим полученное выражение в следующем виде:
X I X
Ах
ила
|
|
|
|
ДА- |
|
|
|
|
|
|
|
где |
положено |
а ~ ~ ~ - |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5) |
Когда |
ДА -> 0, |
то — |
остается |
величиной |
постоянной; вели- |
||||
|
|
ДА: |
> 0 |
|
|
ДА: -> 0, |
|
х |
|
|
|
чина |
a = |
(так как |
а |
остается |
неизменным); по- |
||||||
ложим |
(1 + a ) a = |
и; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
loga |
(1 + |
a ) a |
= |
logo и, |
где |
и = (1 + |
a ) a . |
|
171
|
|
|
|
и— |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
Когда |
Л.ѵ->0, |
то |
lim |
lim |
( 1 + а ) а |
= |
lim |
(1 |
+ а ) а = е . |
|||
|
|
Ах->0 |
|
Д.ѵ-»0 |
|
|
|
а - »0 |
|
|
|
|
Функция log„ к |
непрерывна |
при любой значении аргумента |
н, а, зна |
|||||||||
чит, в |
частности, и при и = е. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
logn " — |
l " m |
l°g« |
и — |
loga |
е. |
|
|
|
|
|
|
д.ѵ->о |
|
|
н->е |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
l |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
j l o g a ( l + a ) « |
|
|
|
|
||||||
|
|
д.*-» о |
— logo e, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Лх-»0 |
йЛ, |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
Ы. Продифференцировать |
следующие |
функции: |
|||||||||
1. г / = 1 п ( х 3 |
+ 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
.(*3 + |
2)' = |
_ 3 £ ! _ J |
( П 0 |
формулам |
(XV) |
и |
(VI)). |
|||
У = л-3 + 2 |
||||||||||||
2. у = 1пУ 1 Р е ш е н и е .
Этот пример можно) решить и по-другому:
= 1 п У і - х * = 1 Iі п ( 1 - х 2 ) ,
откуда |
|
I |
,/ = ±[\п |
( 1 - х 2 ) У = |
(по формулам (III), (VI), (XV)).
2 1 - X2 (ѵ - 2 х )' = X2 - 1 J
§ 56. Производная степени при любом показателе степени. Когда мы в предшествующих параграфах выво дили производные различных функций, то получение формулы для производной каждой функции являлось вместе с тем доказательством существования этой про изводной. Нам предстоит вывести еще формулы для производных ряда функций. Однако выводы этих фор мул с одновременным доказательством существования производной от соответствующей функции оказываются уже довольно затруднительными и выходят за рамки на шего курса, Поэтому мы ограничимся выводом самих
172
формул дифференцирования, исходя из предположения, что производные рассматриваемых функций существуют.
Пусть дана функция
|
У = |
ха, |
где а — любое вещественное |
число и х > 0 . Как было |
|
только что сказано, |
мы предполагаем, что производная |
|
у' данной функции |
существует. |
|
Взяв натуральные логарифмы от обеих частей ра |
||
венства у — ха, получаем |
|
|
|
In у = |
а\пх. |
Функция In у есть сложная функция от х, так как натуральный логарифм берется от у, a у есть функция от X. Поэтому по формулам (XV) и (VI) получим:
(\пу)' = |
±-у'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная |
правой |
части |
равенства In у = а In х |
||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а In х)' = |
а • |
- |
J . |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
у' = (Ху = у . ± = х |
а . ± = аха~К |
( I X ) |
||||||
|
|||||||||
Пусть |
теперь х < 0. Положим |
х = |
— z ( z ^ > 0 ) . |
По |
|||||
правилу |
дифференцирования |
сложной |
функции |
и по |
|||||
формуле |
(IX) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ху = [(_ 2)аУ = [ ( - 1)а гау = ( - l ) f l |
- aza~l |
• z\ |
|
||||||
Так как z = — х, |
то z'= |
— 1, |
поэтому |
|
|
|
|||
(хау = ( - 1 ) ° а • 2 е - 1 ( - 1 ) = ( - l ) a + I |
aza~l |
= |
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
*={-\)a-l(-V?aza-\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(хау = ( _ If-iaz"-1 |
= |
|
а(-z)a~l, |
|
|
|||
|
{xaY=axa-K |
§ 57. Производная показательной функции. Возьмем |
|
от обеих |
частей равенства у — ах(а > 0, а Ф 1) нату |
ральные |
логарифмы: |
|
Іп у — X In а. |
173