Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 223

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

30. Путь s в метрах, пройденный точкой за і с, определяется

уравнением

 

s =

2t3

— 3.

Определить

скорость

движения

через:

а) 1 с; б) 2 с с момента

начала

движения.

 

 

 

 

 

 

 

Отв. а)

 

6 м/с; б)

24 м/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31. Когда скорость точки, движущейся по закону s =

t2—

4t + 5,

равна нулю?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. t =

2 с.

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32. Высота s в метрах, достигаемая в f с телом, брошенным

вер­

тикально вверх

с начальной

скоростью Ѵо м/с, дается

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

s = v0t

—

4,9t2.

 

 

 

 

 

 

 

а)

Найти скорость движения

тела

 

в любой

момент времени

t.

Полагая

ѵ0

=

100 м/с, определить:

 

секунды;

 

 

 

б)

скорость движения

тела в конце второй

 

 

 

в)

в конце

15-й секунды;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) через

сколько

секунд

тело

 

достигнет

наивысшей

точки

подъема?

f =

Оо —9 , 8 / ;

б) 80,4 м/с; в) —47 м/с; г)

приблизительно

Отв. a)

10,2 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

производные

следующих

функций:

 

 

 

 

 

 

 

33.

у =

 

(2х

+

3) (х2

+

Зх — 1).

 

Отв. tf =

 

6х2

+

18* +

7.

 

34.

£ =

 

(1 +

4 х 3 ) ( 1

+

2х2 ).

 

 

 

Отв. t/ =

 

4x(l

+ 3x +

ІОх3 ).

35.

у =

 

(х 2

+ 4х -

3) (ЗА-2 +

12А- +

12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. У = 6 (А- +

2) (2А2 +

8А + 1).

36.

у =

х ( 2 х -

1)(3х +

2).

 

 

 

Отв. (/ =

2(9А2

+

х—

1).

 

37.

s =

 

(VI

+ 0

(

1

-

^ )

 

•

 

O T , .

Ï

—

$

L .

 

 

38.f ( x ) = ( l + X 2 ) ( 3 - - ^ ) .

Найти

Г(1) и f (—1).

Ore. 10; —2.

Найти

производные следующих

функций:

39.

у -

*

±

±а .'

 

 

40.

у =

•

х

„

I . .

 

 

 

 

 

 

-Ь 4

 

 

 

 

 

4 - х "

 

 

42.

Ü =

 

ы2

+ и -

2

'

 

— +

; — .

•

 

 

 

 

и*-

1 •

43.

у=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + ^ 2 *

 

Ore.

0'

 

 

 

 

2 f

l

 

 

 

 

»

 

 

( х - а ) 2

 

 

Ore.

и =

. ,

I

, ч

2 .

 

 

 

J

(А2

+

4)

2

 

 

 

O r

e .

^

 

2

^

6

 

^

'

 

 

»

 

( 4 - х ) 2

 

„

,

 

 

и 2

+

 

4« +

1

Отв.

"ѵ'-=

-

 

( « 2

+

 

ы +

О" '

Отв. у' =

 

 

 

 

 

 

'

4

2 -

 

J

 

 

2 / А ( І + / 2 А ) 2

44.

 

1 —V t2

 

 

 

 

4

s =

;

.

Ore.

s' =

-

 

45.

/ (X) =

 

Найти f (a).

Ore.

-

-L.

179

46. Под каким углом касательная, проведенная в начале коор-

 

 

 

 

X

 

дикат

к кривой

у = • •

2 , наклонена к оси

Ох?

Отв. -4р .

 

 

 

Найти

производные

следующих функций:

 

47.

у =

(х3 -

Г)1 0 0 .

Отв. у' =

ЗООх2 (х 3 - I)9 ».

48.

„ =

ѴТ+х*.

Отв. у'=

Х

 

 

 

 

 

] Л + х 2

49.

//:

 

 

 

 

s„. „_іЛГРТГ.

or..

« • - - ^ y ' . + V j -

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2x2 — x 4- 1

 

51. ff = ( х - I ) К * 2 - H -

° Г в -

^ ^ " T F + T " '

 

52.

j/ =

(Зх -

 

I)2 (* - О3 .

Отв.

у'

 

=

3 (5х -

3) (Зх -

1) X

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (х — I ) 2 .

54.

у

-

|

/ х

. +

1 .

Отв.у-^

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ 9

 

65.

и =

— 7 = = = г .

Ore.

^

 

=

 

 

-

 

 

*

К а2

+ x2

 

 

 

 

(а2 + x2) / а 2

+ х2

Б6. ff

Y

 

п.2

4- x 2

Ore.

^

=

 

.

а 2

 

К

Д

 

^

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x 2 хУ2 Ка2 а+2 +xх2 2

57.

у

 

— - >

1

. ...

- .

=

1 —

,

x

 

 

 

Ore.

у'

 

*

 

 

 

x + У х 2

— 1

 

 

 

 

Ух2

— 1

 

68.

у =

 

 

 

 

.-

 

Ore.

и =

,

 

 

 

 

 

х + Ѵа2+х2

 

 

 

 

а2Уа2+х2

 

 

а 2 '

 

 

 

 

 

 

1

 

„

,

 

 

x + К а 2 - f x 2

5 9 -

» =

 

 

1/-2-Г-2"'

0 Т О -

^ =

 

 

2 i / - â - r — «

'

 

 

x — К а 2

+ x 2

 

 

 

 

а2

У а? + х2

К

§ 53.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

производные следующих

функций:

 

 

 

 

60. ff =

cos5x.

 

 

Ore.

у/

=

—5sin5x.

 

61.

у =

sin

(Зах).

 

Ore. ff7

 

=

За cos (Зох).

 

62. ff — cos — .

 

 

Отв. ff/

=

- T s i n

— .

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

л

Je

 

63.

ff =

tg (2x +

3).

Ore. ff- = _ г ( ^ - Г з Г .

 

180 64. ff =

t g x — x .

 

Отв.

 

 

 

tf^igx.

 

 

 

65. s = sin V1 - t2.

Отв. s' = — -

cos Vi — t2.

V\ — t2

l-Vü

66.0 = cos-1 + -К^й ."

67.{/ = cos3 x2.

_

1

.

I-Vü

Ors.' v'=

К и ( і + К « )sin2

і + К и - '

Отв. tf = — 6x sin x 2

cos2 x2.

68.

// =

— | - c t g 5 j

+ dg3j

 

— 3 c t g - | - - x .

Ors. r/' = c t g 6 - | .

69.

у = У \ +

t g ( x

+

 

 

 

 

 

 

Ore. r/'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 2 c o s 2 ( x + l )

 

j /

" l + t g ( . v + i - )

70.

f{u)

= sm2u.

Найти

f

^

j .

 

 

Отв. I .

7 1 -

' «

= Т + ^ І Т -

Н

а Й

™

Г

(т);

Г (0).

Ore. 2; 0.

72. Под какими

углами

пересекает ось Ох касательные к сину­

соиде в точках с абсциссами

х = 0, х =

я? В каких точках на от­

резке — п ^ х < + я

касательная к синусоиде параллельна оси Ох?

 

я

Зя

я

 

я

 

 

 

 

 

 

Отв. -^;

g-;

+ " 2 -

 

 

 

 

 

К §§ 55 - 57 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

производные

следующих

функций:

 

73.у = In ( х - 2).

74.// = In (ах + b).

75.( / = I n ( x 2 + 2x).

76.2/ = l o g 6 ( 3 x 2 + l ) -

77.

у =

loga (x +

x 3 ) .

78.

у =

log 3 (x +

Ѵх).

79.f/ = l n l n x .

80.2 / = I n ( l + lnx) .

81. i/ = l n x 2 .

82. y = ln2x.

Ore. ^ = _ і _ .

 

 

Отв. у'

 

ax°

+ 6

 

 

 

 

2 ( x + l )

 

Ore.

 

ж

, + 2

х

•

 

Ore.

y /

= 6 3 ^ ° f 5

i e .

 

Отв. y' =

 

1 + Зх2

е.

 

^ + l

o

g o

Отв. if =

г у ^ М т Ц -

log 3 е.

 

 

 

2\xV

 

x +х)

Ore. У' =

х

l n х >

 

 

 

Ore. ^

=

х ( і + 1пх) '

 

Ore. ^

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. y'

=

 

2 In x

 

 

 

 

 

 

 

181

83.

у —

'Уг\ +

In2

X.

 

 

Отв.

=

— - 7 = = = -

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

хУ

1 +

In 2

к

84.

у =

X In л.

 

 

 

 

Ore.

tf =

In л; +

1.

 

 

 

8 5 . „

e

l

n

O

r

e

.

У' =

- ^ -

 

 

 

 

J

 

a — X

 

 

 

 

 

a' — X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (x — 1)

 

86.

j /

=

In (2x2 -

4л- + 3).

 

Ore.

//' =

2

t

* L . 4 ; c

+

3 '

87.

y = I n / x 2

+

4x +

3.

 

Ore.

у' =

л

,

2 ^

|

Д

3 .

 

 

—л

1

,

 

Ы—Ѵъ

 

•

88.

s<=-

TГ =

in

 

7 7 =

 

 

-

In

 

 

- 7 = - .

 

 

 

2 Ѵъ

 

 

3/ +

К З

 

 

8 9 . o =

In

г

 

1

 

— .

 

 

 

 

 

К З -

4и +

« 2

 

 

90.

у =

In (ж +

У Т + І 5

) .

 

 

91.

у =

In (Зх +

/ Э Ѵ + І ) .

 

 

92.

у =

-

In (х 3

+

Ѵ >

-

ûe ).

 

*

3

 

 

 

 

 

 

 

93.

s = —

I n -

 

 

5

 

 

.

94.

(/ =

І п У ' х 2 + 4

+ - ^ т .

95. / ( x )

=

1/г Іп7.

Найти /'(«)•

96.y = e A x - \

97.y = a34".

98.5 = 7 I I + 3 i .

1

99.p = W .

100. y = e

* .

101.y = 4 ' - 4

102.у — ееХ.

103. «/ = 2 x - a l n ( e T + l ) .

104. г/ = гг'е-*.

n

.

!

 

•

 

Ore.

0 1

= — :

 

 

s

—

 

 

 

 

Отв.

о' =

3f2

-

1

.

 

 

 

 

 

 

3 -

4« +

и 2

Ore.

 

=

У I +

x2

 

 

 

 

 

Отв.

у' =

у

=

=

р

Ore.

 

i / ' =

К ,x6

— а6 .

Отв.

s = — 7 = = = - .

Ore.

y> =

(/+4y

 

 

•

Ore.

-

I .

 

 

 

Отв.

y" =

4eAx~3.

 

Ore.

y' =

3a3 j :

In

a.

 

Ore.

s'

=

3 ( / 2

+

l) 7'*+3 ' In 7.

„, — In 5

Отв.

p

 

 

 

 

.

 

 

Отв.і/

 

=

е

 

"'-^r-

 

Ore.

у '

=

-

-

^

. 4 '

- '

/ Г 1 п 4 .

Отв. t/

=

 

ex-eeX.

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

Отв. y ' =

в

x

+

2 .

 

 

 

 

 

e T

+

1

 

 

Ore.

y' =

a-V* (1 +

In

a).

.182

Смотрите также файлы