Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

у

/ = 1 п а

*

) ,

откуда

,/

= {axY=y\na=ax[na.

(XVI)

Итак,

производная

показательной

функции

ах

равна

произведению

самой

показательной

функции

и

нату­

рального

логарифма

основания.

В

частном

случае,

когда

а =

е, имеем

функцию

У =

ех.

По формуле

(XVI)

получаем

t/

= (exy = ex\ne

= ex,

(XVII

т. е.

производная

показательной

функции ех

равна ей

самой.

П Р И М Е Р .

Продифференцировать

функцию

if

= 74 *' • I " 7 • (4хг )' =

] („о формулам

= 7 < * І п 7 . 8 * = 8 1 п 7 . * . 7 < * ' І

(XVI) и (VI)).

§

58. Производные обратных

тригонометрических

фун кций * * ) . 1. Производная

функции

arcsin х. Пусть

у = arcsin x

(— 1 <

л: < I),

Функция sin у есть сложная

функция, так как у

есть

функция от X.

равенства sin у =

х

по х,

Дифференцируя

обе части

находим

cos у • у' = 1,

у

*)

В предположении существования производной от

функции

= а 1

(см. замечание

в начале § 56).

**)

При выводах

формул

предполагается, что

производные от

обратных тригонометрических

функций существуют

(см. замечание

в

начале § 56).

и

cos у

Так как sin у =

х, то cos # =

]/ 1 — х2 *); следовательно,

у'

=

(aresin * ) ' =

у = = = - .

(XVIII)

2. Производная

функции

arccosx.

Положим

y =

arccosx

( — 1 < х < 1 ) ,

причем

О <С г/ <

я; тогда

cos у =

х.

по х, на­

Дифференцируя

обе части

этого

равенства

ходим

— sin у

у'=

1,

откуда

и

:

•

J

sin у

Так как cos у=х,

то sin y=V\

—х2

**); следовательно,

/ = ( a r c c o s x ) ' =

— у = = = г -

(XIX)

3. Производная

функции

arctgx.

Положим

r/ =

arctgx

(— оо < X < оо),

причем

— 4г <

у < - | ; тогда

tg г/ == х.

Дифференцируя

обе части

этого

равенства,

находим

—т~

• у' =

1.

откуда

cos2

у

ä

,

у'

=

COS2

у .

*) Перед радикалом берем положительный знак, так кат: зна­

чения функции

у = arcsin х

рассматриваются

только

в границах от

я

I

л I

п

^

^ I

л \

п Р е л - е л

значения

2

д 0

+

~2 \~~~2

lJ

"*"~2г

3

В

Э

Т И Х

а х

функции cos у положительны.

**) Перед радикалом берем знак

плюс, так как значения

функ­

ции

у =

arccos X

рассматриваются

только

в

границах

от

0

до it

(О <

у <

я ) , а

в

этих

пределах

значения

функции

sin#

положи­

тельны,

Так как ig у =

х, то cos2 у=

—+?

• "бо cos2 г/=

следовательно,

/

= (arctg*)'==T - lp .

(XX)

4. Производная

функции

arcctg*-. Положим

y =

arcctgx

(— со <

X <

оо),

причем 0 < # < я;

тогда

ctgy

=

x.

Дифференцируя обе части этого равенства по х, на­

ходим

откуда

sin2 у

# —— sur* у.

Так как ctg у = х,

то sin2

// =

у - —

, ибо sin2 // = 1 + c ' t g , g ;

следовательно,

#' =

(arcctg *') =

•

1

(XXI)

l + х 2

•

П Р И М Е Р Ы .

Найти производные

следующих функций:

1. у = arctg

3xs .

Р е ш е н и е .

(1 + а 2 ) ( 1 + х 2 )

( l - a * ) s

1 + х 2

17.

f

— 5 ж

+

6.

Найти:

f ( l ) ;

f

(1);

f

(2);

f

(2);

/(3)

f ( 3 ) ;

Г Ш ; f ( a ) ; П о ) -

Ore.

2; —3;

0;

— I

;

0;

1; 3,75;

—4; a2

-

5a +

6;

2a

-

5.

18.

/ (x) =

x 5

— 3x3

+

1.

Показать,

что

f

(a) =

/' (—

a).

19.

Найти

значения

x

н y, при

которых

обращаются

в

нуль

производные

от

функшій:

а)

у =

2.Ѵ-3

-

9.ѵ2,

б)

(/ =

2Л-3

+ З.ѵ2

-

12х -

18,

B ) j f = { ^ - 2 ^ + | ,

г) у = x" - 2х 3 + 4.

Ore.

а)

(0; 0);

(3; - 2 7 ) ;

б) ( - 2 ;

2);

(1;

- 2 5 ) ;

в)

( - 2 ;

- 3 - | ) ;

Н

И

*

£

)

•

у

20.

Найти

уравнение

касательной

к

кривой

=

4х2

+

4х — 3

в точке, абсцисса

которой

равна — 1 .

Отв. Ах +

у + 7 =

0.

у =

2 — Ах — х 3

21.

Найти

уравнение

касательной

к

кривой

в точке, абсцисса которой равна —3.

Отв. 2х — у +

11 =

0.

22.

Найти

уравнения

касательных

к

кривой

</ =

х 3

+

х 2 ,

угло­

вые коэффициенты которых равны 8.

Отв. 8х — у +

12 =

0; 216х — 27у — 176 =

0.

у

— х,

23.

Найти

уравнения

касательных

к

кривой

=

2х3

+

4ха

угловые коэффициенты

которых равны

— ,

Отв. x — 2у +

9 =

0;

27х — 54# — 7 =

0.

24. Найти уравнения касательных к кривой у =

х 3 — 2х2

+

х — 2,

параллельных

прямой 7х — Ау + 28 =

0.

Отв. 7х — Ау—

17 =

0;

189х — 108(/ — 209

=

0.

25.

Найти

на

кривой

у == х 3 — х 2 +

2х +

3

точки,

в

которых

касательные,

проведенные

к

кривой,

параллельны

прямой

Зх — у —

— 7 =

0.

Ore.

(1;5);

(

-

!

;

#

) .

26.

Найти

угол

между

касательными

к

кривой

у

=

х 3

— Зх2 +

j - f 4х — 12, проведенными

в точках,

абсциссы

которых

равны

—1 и 1.

Отв. arc tg — ,

27.

Найти

площадь

треугольника,

образуемого

осями

координат

и касательной, проведенной к кривой

у

=

х 3

в точке

(3;

27).

Отв. 54

кв. ед. _

у

—

хг

28.

Найти

уравнение

касательной

к

параболе

— 4х + 7,

07в. 6х +

9у — 38

=

0.

_

29. Найти

уравнение

касательной к кривой

у — +Ѵх

+ 6

в точке пересечения кривой с биссектрисой первого

координатного

угла.

Отв. x — 6y+J5

— 0,