Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Квадрант

Знак

Знак

Квадрант

Знак

Знак

абсциссы

ординаты

абсциссы

ординаты

П Р И М Е Р

1. На

плоскости задана

точка M (рис. 4). Найти ее

абсциссу и ординату

(положение

осей

координат

считается

из­

вестным).

Опустив из точки M перпендикуляр

MN

Ох

Р е ш е н и е .

на

ось

и перпендикуляр

MP

на ось Oy

и измерив отрезки

ON

и

ОР, * ) ,

г X

-г

-J

н-г

-J

-г

«.сM

р

Рис.

4.

Р и с 5.

найдем

X =

— ON = —2,5;

у — 3,4.

Мы придем к тому же ре­

зультату, опустив из точки M перпендикуляр

MN

на

ось

Ох и

изме­

рив отрезки

ON

и

MN.

M

П Р И М Е Р

2.

Построить

точку

(—3;

•—4). если

заданы

оси

координат.

Ох

начала О

Р е ш е н и е .

Отложим на

оси

в л е в о

от

(абс­

цисса точки

M о т р и ц а т е л ь н а ! )

N

отрезок ON, равный трем еди­

ницам

длины. Восставив в

конце

этого

отрезка

перпендикуляр

к оси

Ох, отложим на

нем

в н и з (ордината

искомой точки

о т р и ­

ц а т е л ь н а )

отрезок,

равный

четырем

единицам

длины.

Конец

этого отрезка и даст искомую точку

M

(рис.

5).

Ту

же

самую

точку M получим, отложив на осях Ох и

Oy

соответственно

от­

резки

ON =

I —3

I и

ОР =

I —4

I

и проведя через точки N п Р

прямые,

параллельные

осям,

до

их

взаимного пересечения (в

точ­

ке М).

§ 3. Расстояние между двумя точками. 1. Пусть даны

точки

Мі(х\\0)

и М2(х2;0),

т. е. точки, лежащие на

оси

резка обозначать

так же, как и сам

отрезок.

У'

У

Мг(хг;у2)

У fr/W

1

0

о

І

0 \

9

A>(xt;0)

0)

б)

6)

Рис. 6.

MtM2

= — хх

+ х2 —х2

— Х \ .

(1)

на

При

расположении точек М\

и М2,

представленном

рис. 6,6, получим

М{М2

= М2Мі

= М20

—

М , 0 =

— х2

— {— ж,) —

=

-

Х2

+

X , =

—

(Х2 — * , ) .

(1*)

Из

определения

абсолютной

величины

числа

следует,

что

— \ х 2 — х \ ) =

\х2

— хі\.

Заметив,

что

в равенстве

(1)

разность

х2

— Хі

положительна,

и

потому

х2

— х\

=

=

\х2

— х\\,

заключаем,

что формулы (1) и

(1*) могут

быть объединены одной

формулой

М,М2

=

\ х 2

-

х^.

'

(2)

Нетрудно

убедиться

(предоставляем

сделать

это

чи­

но

друга и относительно

начала

координат

точки

Мі

и

'М2

(при условии у2 = і/і =

0).

На

рис. 6, в изображен

случай, когда точки М1

и

М2

лежат

на прямой параллельной

оси Ох (в

этом

случае

Уі = £/г¥= 0).

Из

указанного, рисунка

следует,

что

MlM2

= N1N2

= \ х2

—

Х І \ .

Очевидно,

что

расстояние

между

точками

М\

и

М2,

лежащими на

оси

Oy

или

на

прямой,

параллельной

ей,

и имеющими соответственно ординаты уі

и

у2,

выра­

зится формулой

ЛГі'ЛГ2 =

| Уг — Уі |.

(2*)

2. Если х2

ф Х\ и у2ф

у и то

прямая,

проходящая

через точки М\ и М2,

не

параллельна

ни одной из

осей

координат (рис. 7).

Мі

и М2

Проведем

через точки

прямые,

параллель­

этих

прямых

обозначим

через

R; координаты

ее,

как

это

легко

видеть,

будут

(х2;у[).

По формулам (2) и (2*) най­

дем .

M{R

=

\ х2

— Xi I,

RM2

= \ г/г - у, |.

Из

прямоугольного

тре­

угольника

MiRM2

имеем

MlM2=V(MlR)i

+

(RM2f;

Рис.

7.

подставляя

сюда

значения (Л^/?)2 и

{RM2)2,

выражен­

тельно

получаем

М\М2

=

Ѵ(*2 -

*і)2 +

(У2 -

УІ)2-

(3)

Под радикалом в формуле (3) вместо суммы квад­

ратов

а б с о л ю т н ы х в е л и ч и н

разностей х2

— Х\ и

у2 — у\

мы поставили

сумму

квадратов

с а м и х

р а з н о ­

с т е й ,

так как квадрат абсолютной величины числа ра­

вен квадрату самого

числа.

В

формуле

(3) радикал

берется со

знаком

'+', так

xi

=

Уі =

Ö, x2

=

X, y2

=

у ,

получим

П Р И М Е Р .

Найти точку, отстоящую на одинаковых расстоя­

ниях

от трех

данных

точек: Мі (1;2);

М2 (—1;—2); ЛІ3 (2;—5).

е е

Р е ш е н и е .

Найти точку — это

значит о п р е д е л и т ь

к о о р д и н а т ы .

Обозначим искомую точку через M и ее коорди­

наты

через

X, у.

Значит,

нам

надо

определить два

неизвестных:

X

и

у, для

чего

требуется

составить

два

уравнения,

которые

мы

и найдем, используя условия задачи.

Эти

условия дают два

ра­

венства

МіМ = М2М

и

М2М =

МЬМ.

По формуле

(3)

имеем

Ѵ{х - I ) 2 + (у - 2)2 = Ѵ(х + I ) 2 + (У + 2)2 ,

Ѵ(х

+

I ) 2 +

(у +

2)2

= К ( д : - 2 ) 2

+ (// +

5)2 .

Решив

эти уравнения,

найдем

х

8_

4_

Следовательног

3 '

3"

искомая точка

есть

M I

§

4. Деление отрезка в дан­

ном отношении. Под этим по­

нимается

следующая задача.

Даны

две точки:

М\{х\\у\)

и М2{х2\у2)

(рис.

8).

Третья

точка

М,

координаты

которой

неизвестны,

делит

отрезок

М\М2

м,м

так, что отношение м м •

равно данному числу X. Требуется

найти

точку

М(х,у),

т. е. требуется найти ее координаты х,

у.

Из элементарной геометрии мы знаем, что отрезки

М\М,

ММ2,

N\N

и NN2,

заключенные

между

параллель­

писать, учитывая условия

задачи,

ММг —

NN2 ~ А '