Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

ГЛАВА II

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 5. Понятие уравнения прямой линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. 1. В предыдущей главе был рассмотрен вопрос об определении положе­ ния точки на плоскости при помощи чисел. Кроме того, там же были разобраны некоторые простые задачи, ре­ шение которых опиралось на применение этой идеи.

Однако метод координат находит применение не только в вопросах, связанных с рассмотрением положе­ ния отдельных точек. Оказывается, что расширение основной идеи — определения положения точки на плос­ кости при помощи координат — дает возможность изу­ чать геометрические образы (линии и поверхности) главным образом при помощи вычислений, а не мето­ дом построений, как это делается в элементарной гео­

определенные численные значения и что различным по­ ложениям точки M на плоскости будут отвечать и раз­ личные численные значения ее координат. Таким обра­

сектриса есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла. Следовательно, пере­ менная точка М(х;у) окажется лежащей на проведен­ ной биссектрисе только в том случае, когда ее текудіие

29

4. Условимся называть углом наклона прямой к оси

Ох угол, образуемый вращением положительно направ­ ленной части оси Ох около точки пересечения прямой с осью Ох, против движения ча­ совой стрелки, до совпадения с прямой (рис. 11).Угол накло­ на к оси Ох прямой, парал­ лельной этой оси, будем счи­ тать равным 0°. При таком ус­ ловии для угла ф наклона лю­ бой прямой к оси Ох доста­

Ф (рис. 12). Предположим, что переменная точка М(х;у) плоскости лежит на этой прямой. Из прямо­ угольного треугольника ON M имеем NM = ON tg ф или (так как NM = у и ON = х)

метим, что соотношение (2) сохраняет силу и в том слу-

30

чае, когда переменная точка плоскости окажется лежа­ щей в начале координат: в этом случае х — О, у = 0, и так как O-tgcp = 0, то приходим к равенству 0 = 0-tgcp.

Будут ли текущие координаты точки M связаны со­ отношением (2), если точка M не лежит на данной пря­ мой? Пусть переменная точка занимает на плоскости положение, отмеченное на рис. 12 точкой Р. Для лю­ бой точки Р(х;у), не лежа­ щей, на данной прямой, отре­ зок ОР будет наклонен к оси Ох под углом, отличным от

угла ф. Поэтому QP Ф

¥=OQtgy, т. е. y¥=xtgq>.

ние (2) остается справедливым для координат переменной точки,

щую через начало координат и на­ клоненную к оси Ох под углом ф, тангенс которогоравен

'31.,