Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

правая часть которого, т. е. функция f(x), имеет такие специальные виды:

1)

*

І(х) =

е^Рл(х),

где Рп(х) — многочлен степени л, т. е.

Рп(х) = а0хп-\-а1хп-і+

. . . + д „

и

2)f(x) = a cos/U -f- Ь sinÀx.

Мы будем решать эти уравнения способом, основан­ ным на такой теореме:

Пусть дано уравнение

 

 

y" + py'

+

qy = f(x).

 

 

 

(34)

Если у

есть общее решение

 

уравнения

 

 

 

 

 

 

У"

+ РУ'

+

<1У = 0,

 

 

 

(35)

и и — любое

частное

решение

уравнения

(34),

то

общее

решение

у уравнения

(34)

складывается

из

суммы

 

 

 

 

у =

у-т-и.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

прежде

всего, что

по условию у есть общее

решение

однородного

уравне­

ния (35), а

и — частное решение уравнения

(34) с

пра­

вой частью f(x). Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

и

 

У"-Т-РУ'

+

ЯУ = Ъ

 

 

 

(44)

 

u" + pu' + qu = f{x).

 

 

 

(45)

 

 

 

 

 

Заменим теперь в левой части уравнения (34) у на y-j-u, у' и у" соответственно производными от суммы у + и. Получим в левой части выражение

(y + u)" + p(y + u)' + q(y + u)

или,

так как (у + «)' = у'+

(у +.")"

= у" + и",

 

у"

+ и" + ру' + pu' + qy +

qu,

или,

наконец,

+ РУ' + ЙУУ +

+ pu' + qu).

 

W

Принимая во внимание (44) и (45), заключаем, что сде­ ланная подстановка дает в левой части уравнения (34) функцию f{x), а следовательно, само уравнение обра-

409

щает

в тождество

f(x)=f(x).

 

 

 

 

Итак,

выражение

у-\-и

есть решение уравнения

(34).

А так

как у есть

общее

решение уравнения (35)

и со­

держит две произвольные постоянные С\ и Сг, заклю­ чаем, что выражение у + и есть в то же время и общее решение уравнения (34).

Решать однородное уравнение (35) мы умеем. Зна­ чит, если нам каким-нибудь образом удастся найти

частное

решение

неоднородного уравнения

(34),

то,

со­

ставив

выражение

.у +

и, мы

найдем

и

его общее

ре­

шение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем на примере, как можно отыскать частное

решение

неоднородного

уравнения

(34)

для

случая,

когда

функция f(x)

имеет вид

1).

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р

13.

Найти

общее

решение уравнения

 

 

 

 

 

 

у"

+

2 /

-

Зу =

е-х

(25А2 - 47).

 

 

 

(46)

Р е ш е н и е .

Интегрируем

сначала

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у" + 2у'-3у

= 0.

 

 

 

 

 

Общее решение его у

такое:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = С,е* + с2<гЧ

 

 

 

 

 

Будем теперь искать частное решение данного неоднородного

уравнения

(46)

в виде

произведения

функции

у =

е*х

и многочлена

той же степени, что и в правой части исходного уравнения, коэффи­

циенты

которого пока остаются

неизвестными, т. е. многочлена

Ах1 -4- Вх

- f С. Таким образом, полагаем

 

и = е2х {Ах2

+ Вх + С).

Задача теперь сводится к нахождению коэффициентов А, В и С. Положим для простоты выкладок

Ах2 + Вх + С = о.

Тогда

и = е2хѵ.

(47)

По предположению, и есть решение уравнения (46). Значит, под­ становка в него вместо у функции е2х-ѵ должна привести к тожде­ ству. Из (47) имеем

и'

= г 2 Ѵ

+

2е2хѵ =

е2х

W +

2о),

и" = е2х (ѵ" +

2ѵ') +

2е2х

( о ' +

2о)

= е2х

{ѵ" + 4о' + 4о).

Заменяя в уравнении (46) у функцией е2*ѵ, производные у' и у" найденными производными этого выражения, приходим к равенству

е2х ( о " + 4 о ' + 4о) + 2е 2 * ( о ' + 2t>) - 3e**o = е2х (25А2 - 47)

410

или, по сокращении

на

е2х

и приведении

подобных

членов,

 

 

 

 

 

ѵ" +

6о' +

5о =

25х2

— 47.

 

 

 

 

(48)

Здесь о =

 

Ах2

+

Вх + С,

ѵ' =

2Ах-\-В,

 

ѵ"

= 2А.

Таким

об-,

разом, равенство (48)

 

приводится

к

равенству

многочленов

 

2Л +

6 (2Ах

+

В)

• і- 5 (Л*2 + Дх +

С) =

25л;2

— 47

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5Лх 2

+

(12Л +

5В) x +

2Л +

6В +

5С =

25х2 -

47.

(49)

Таков результат подстановки

выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

е 2

х

[Ах2

+

Вх

+

С)

 

 

 

 

 

в уравнение (46). Для того

чтобы

функция

и —

е2* (Ах2

+ Вх +

С)

была решением

уравнения

(46),

нужно,

чтобы

равенство

многочле­

нов было тождеством. А это возможно только в том случае, когда коэффициенты многочленов при одинаковых степенях х будут равны.

Таким образом, в силу (49) должно быть

i

 

5Л -

25,

12Л +

5Д =

0*),

і

2Л + 6В + 5С = - 4 7 .

і

Мы получили систему трех

уравнений

с тремя неизвестными

коэффициентами А,

В

и С. Решая эту систему,

находим

 

 

 

А =

5, В = -

12,

С =

3.

 

 

 

Таким образом,

и =

е2х(Ьх2—12х

+ 3), и общее

решение исход­

ного уравнения

(46),

определяемое

выражением

у

+ ы, имеет

вид

у =

Се*

+ С2е~3х

+ е 2

х (5х2

— 12* +

З).

 

2. Применим теперь рассмотренный способ отыска­

ния частного решения и к уравнению

 

 

 

 

 

y"

+ py' + qy = ekxPn(x),

 

 

 

(I)

заданному в общем виде. Здесь Рп(х)—

многочлен

сте­

пени п:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рп

(х) =

а0хп +

аухп-1

+

. . . + а „ .

 

Будем искать частное решение и, как и в рассмот­

ренном примере, в

форме

 

 

 

 

 

 

 

и =

ekx

(АоХп +

Л,*"-1 +

. . .

+

Ап),

 

*) Мы приравниваем коэффициент при х в многочлене, находя­ щемся в левой части тождества (49), нулю, так как в многочлене 25д-2 —47 отсутствует член, содержащий х в первой степени.

4 1 1

где

AQ, A I , .-..,А„

— неизвестные

коэффициенты.

По­

ложим

А0хп

- f ЛІЛ-"-1 4 - . . . +

Ап =

v. Тогда

 

 

 

 

 

 

и =

екхѵ,

и'^екхѵ'

+

kekxv

= ekx(vf

+

 

kv),

 

и" =

екх

{v" + kv')

+

kekx

{vr +

Ло) =

ekx {u"

- f

-

2 b '

+ k2v).

Подставляя в левую часть уравнения (I) вместо у функцию и, вместо у' и у" найденные производные этой функции, получим равенство

екх

[ѵ" + 2 Ь ' +

k2v) 4- рекх

[v'

+

kv) +

qekxv

= е**Р„ (x)

или,'по

сокращении

на

ehx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v" - f (2fe +

р) о' 4- (/г2

+

р£

4- <7) v =

Р„ (x).

(50)

Здесь

и

= Л0 х»4-Л,л-"-1

4 7

. . . 4 - Л „ _ 2 Х 2

+

Л „ _ 1 х 4 - Л п

(многочлен

степени

n),

степени

ѵ'=А0пхп-і-т-А1(п—1)хп-24-...

...4 -Л„_і

(многочлен

а — 1 )

и

ѵ" =

=

А0п(п—

1 ) х " - 2 4 - Л , ( « — I) (п — 2)х"~3 4-

... 4-2Л„_2

(многочлен

степени

п — 2).

Следовательно,

в конечном

счете, если

k2 + pk + Q Ф 0.

в левой

части

равенства

(50)

мы

получаем

многочлен

степени

п с

неизвестными

коэффициентами,

определяемыми

 

выражениями,

содер­

жащими

AQ, AI

 

An.

Для

того

чтобы равенство (50)

было тождеством, нужно, чтобы коэффициенты при оди­ наковых степенях х многочленов, стоящих в левой и

правой частях

равенства,

были равны. Приравнивая

друг другу

соответствующие

коэффициенты,

мы

придем

к системе

уравнений

с n -\-

1 неизвестными

Ап,

А\, ...

Л „ . Решив

эту систему,

найдем нужные

для

тожде­

ственности

равенства

(50)

значения А0,

А\,

. . . . Л „ ,

а, значит, вместе с тем найдем н частное решение урав­ нения ( I ) .

Предположим теперь, что k2 4- pk 4- Ц =• 0. Этот слу­ чай будет иметь место тогда, когда k является корнем уравнения

r* + pr + q = 0,

т. е. если k является корнем характеристического урав­ нения для дифференциального, уравнения

У" + РУ' + qy = 0.

В этом случае равенство

(50)

сведется

к равенству

o" + (2k + p)v'

=

Pn(x)-

(50*)

4 1 2

Смотрите также файлы