Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

где

Пример 1.4. Определить передаточную функцию н частотную характеристику непрерывной системы, описываемой уравнением первого порядка

Ту + ку = кх.

На основании формулы (1.46) передаточная функция в данном случае имеет вид

JA7’2co2 + 1

Пример 1.5. Определить передаточную функцию дискретной замкнутой следя­ щей системы с б-импульсным элементом и интегратором в прямой цепи с передаточ­ ной функцией k/s.

Для определения передаточной функции замкнутой системы сначала вычислим

26

Используя формулу (1.60), запишем передаточную функцию как функцию ар­ гумента s;

Реальные элементы автоматических систем в большинстве слу­ чаев нелинейны и лишь в известных пределах их можно считать линейными. Однако в состав автоматических систем входят также существенно нелинейные элементы. Среди нелинейных элементов автоматических систем особую роль играют так называемые безынер­ ционные элементы, которые не имеют запаздывания. Для безынер­ ционного нелинейного элемента выходная переменная в данный мо­ мент времени зависит только от значения входной переменной в тот. же момент и не зависит от того, как изменялась входная переменная до данного момента. Оператором безынерционного элемента является обычная функциональная зависимость между входной и выходной переменными. Эта функциональная зависимость называется харак­ теристикой нелинейного элемента, или нелинейностью.

Нелинейности автоматических систем можно разделить на слабые и существенные. К слабым нелинейностям относят такие, которые при малом диапазоне изменения входного сигнала или при малом его отклонении от изменяющегося среднего значения могут быть заме­ нены линейными. При больших уровнях входного сигнала возникают отклонения от линейной зависимости между входным и выходным сигналами из-за ограничения мощности источников энергии. На рис. 1.5 изображена типовая характеристика нелинейности. Системы с такими нелинейностями при малых уровнях сигнала ведут себя как линейные, и только при больших уровнях сигнала они ведут себя как нелинейные.

Другой тип нелинейностей характеризуется кусочно-линейными или разрывными функциями. Преобразование входного сигнала лю-

У

-й

27

бого уровня такими нелинейными элементами всегда нелинейное. Пример типовой нелинейной характеристики подобного типа приве­ ден на рис. 1.6.

Элементарными безынерционными нелинейностями являются, на­ пример, элементы мультипликативного типа, характеризующие со­ бой зависимости множительных блоков, модуляторов и других уст­ ройств. В любой реальной автоматической системе имеются нелиней­ ности типа зоны нечувствительности, люфта, зоны насыщения, гис­ терезиса, реле и другие нелинейности. Нелинейность характеристик дискретных систем обусловлена наличием элементов двух типов — импульсного элемента с широтно-импульсной или частотно-импульс­ ной модуляцией и счетчика (регистра) цифровой машины с ограничен­ ным числом разрядов.

Когда количество разрядов числа, поступающего на вход счет­ чика, больше максимального числа разрядов дискретного устройства, происходит его переполнение (насыщение).

При действии на такую систему с ограниченным числом разрядов счетчиков случайного входного сигнала, максимальное значение которого заранее предусмотреть невозможно, могут происходить переполнения дискретного элемента. Такое явление характеризуется нелинейной зависимостью типа ограничения. Кроме того, в дискрет­ ных системах имеются запоминающие элементы и элементы считы­ вания цифровых сигналов. При определенной программе работы циф­ ровой машины в зависимости от решаемой задачи в системе могут появиться нелинейности типа зоны нечувствительности, реле, гис­ терезиса и их комбинации.

Одна н та же нелинейность может выражать зависимость между входными и выходными сигналами для ряда типовых реальных не­ линейных элементов, основанных на различных физических прин­ ципах. Для некоторых нелинейных элементов выходная переменная может зависеть не только от значения входной переменной, но и от направления ее изменения, т. е. от производной входной перемен­ ной. В этом случае получается неоднозначная зависимость. Для ряда элементов выходная переменная зависит от совокупности входных неаддитивных переменных. При этом нелинейность является много­ мерной.

Обозначая характеристику любого безынерционного нелинейного элемента через ср, запишем зависимость между входной х и выходной у

В общем случае для многомерной нелинейности связь между вы­

где ср — произвольная однозначная нелинейная функция. Неодно­ значную зависимость также можно представить формулой (1.66), если в число аргументов включить производную одной из переменных,

28

1.7. Линеаризация нелинейностей

Пользуясь нелинейной зависимостью (1.65), можно определить выходную переменную и ее характеристики, если входная перемен­ ная задана как функция времени. При этом во многих задачах изме­ нение входного сигнала х (/) нелинейности бывает настолько малым, что однозначные нелинейные функции в пределах изменения входного сигнала можно приближенно считать линейными.

При вероятностных исследованиях входной случайный сигнал представляют в виде

где тх (t) — математическое ожидание функции X (/); X й (t) — цен­ трированная случайная составляющая сигнала, имеющая равное нулю математическое ожидание. Если входной случайный сигнал X (t) мало отклоняется от математического ожидания тх (I), что можно оценить по величине дисперсии, то удобно осуществлять линеари­ зацию слабой однозначной дифференцируемой нелинейности относи­ тельно центрированного входного сигнала. Линеаризация нелиней­ ности при этом состоит в замене нелинейной характеристики при­ ближенной линеаризованной зависимостью, определяемой первыми членами разложения функции ср (X) в ряд Тейлора относительно цен­ трированной составляющей с центром разложения, равным матема­ тическому ожиданию входного сигнала:

Приближенная зависимость (1.68) линейна только относительно (t), она нелинейна относительно тх и равноценна замене кривой

касательной к ней в точке тх.

Если нелинейность (1.66) является многомерной однозначной и дифференцируемой по всем переменным, то при малости всех центри­ рованных составляющих линеаризованная зависимость имеет вид

П

Изложенный способ линеаризации неприменим к неоднознач­ ным функциям и к сильным нелинейностям, имеющим характеристики с угловыми точками и разрывами. Для линеаризации таких нели­ нейностей применяют статистическую линеаризацию.

Статистическая линеаризация нелинейностей состоит в прибли­ женной замене нелинейной характеристики эквивалентной в вероят­ ностном смысле линеаризованной функциональной зависимостью между случайными переменными [30, 32, 78].

Однозначную безынерционную нелинейность общего вида между случайными переменными Y и X

■Y = q>(X)

29