N
Рис. 9.7. Структурная схема пеленгационного устройства
живающего фильтра и исполнительного устройства может быть пред ставлено интегрирующим звеном. Эта упрощенная модель приведена на рис. 9.8. Уравнение, описывающее работу системы, имеет вид
у + kkl ( i + | (*)) Y = kk1(l + t (t)) X (t) + ltlN (if), |
(9.71) |
где k — коэффициент усиления канала выделения сигнала ошибки; ki — коэффициент усиления исполнительного устройства.
Выходной сигнал системы в соответствии с уравнением (9.71)
имеет вид |
|
|
|
t |
t |
— |
|
У (0 = [ g V, т) X (т) йт+ |
j |
gi (t, т) N (т) (к, |
(9.72) |
б |
о |
|
|
где весовые функции системы соответственно равны:
Si (*. т) ~ |
К ехР — К Jt |
Z (rj) dr] |
(9.73) |
|
X |
|
|
g (t, — |
exp I— К J Z (rj) dr\ |
(9.74) |
Подынтегральная функция в выражениях (9.73), (9.74)
Z(ii) = k [1 + |(л )]. |
(9.75) |
Вычислим второй начальный момент ошибки работы следящей системы, принимая за требуемый сигнал линейно-изменяющийся сигнал с постоянными параметрами:
Рис. 9.8. Упрощенная структурная схема пеленгационного устройства
Ошибкой системы |
является разность |
|
|
|
t |
t |
|
Е (0 = а I g it, |
т) dx + b | Tg (t, x) dx + |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
+ |
Jt gi {t, T) N (t ) dx — (a + bt). |
(9.77) |
|
|
о |
|
|
Математическое |
ожидание |
ошибки |
|
|
t |
t |
|
m E {t) = a \ M [g (/, t)] dx + b J xM [g (t, x)] dx + |
|
|
о |
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
+ |
j |
M [g* (t, |
x) N (x)] dx— {a -f bt). |
(9.78) |
|
о |
|
|
|
Подставляя значения весовых функций в формулу (9.78), полу чаем
т Е (0 = |
- а [ 1 - Р ( * , 0 + ^ V, 0)] — |
|
— Ь j* [ 1 — Р (t, |
О Н - J р {t, х) dxj + | K gtN (t, х) dx, |
(9.79) |
где введены обозначения
Р (t, х) = М ехр — К J z (ti ) dr\ |
(9.80) |
X
KglN (t, x) — взаимная корреляционная функция весовой функции (t, х) и помехи N (х). Из формулы (9.80) следует, что Р (t, t) = 1.
Поэтому формула для математического ожидания ошибки упрощается и принимает вид
t |
t |
|
тв (t) —— аР (t, 0) —b j P(t, x) dx + j Ks,n (t, t) dx. |
(9.81) |
Для вычисления функции P (t, x) |
и корреляционной |
функции |
в третьем члене выражения (9.81) необходимо знать характеристики случайной функции £ (t). Для нормально распределенной стационар
ной случайной функции функция Р (t, х) имеет вид [69, |
75] |
Р (t, х) = |
exp j—k0 (t — х) + 2kl |
J 5Ш- ^ Г Т)/2 5 M |
d(D) > (9'82) |
|
l |
о |
) |
где k 0 = kk{, |
S (со) — спектральная |
плотность случайной функции |
| (t), имеющей дисперсию о2.
Рассмотрим случай прямоугольного спектра с граничной часто
той сог. Спектральная плотность |
|
|
|
( а- |
__ |
|
|
S (со) = |
^ |
“ г’ |
(9.83) |
[ 0 |
со > |
сог. |
|
Подставляя выражение (9.83) в формулу (9.82) и выполняя вы числения, получаем
Р (t, х) = exp{ - k0 (t- т) + |
(t- т) IL ( -Юг(<~ т) )}, (9.84) |
где |
|
|
(9.85) |
Подставляя значение функции Р (t,x) в первые два члена формулы (9.81) и выполняя вычисления, находим следующие компоненты
|
математического ожидания |
ошибки: |
|
|
|
т в, (0 = — а ехр 1 - |
’l — |
яА0а2 Т ( |
Ц ; |
(9.86) |
|
2сог М |
|
|
1 |
|
|
|
|
т Ва (0 = — Ь | ехр !— |
n k 0a |
2 / ( |
сог (/ — т) |
|
|
|
|
2шг |
2 |
|
|
В результате вычисления взаимной корреляционной функции весовой функции и помехи получаем следующее выражение для
третьего слагаемого в |
формуле (9.81): |
|
/Ив. (О= |
2£ляа2 г |
|
|
цт - I |
h К (* —Т))cos«о* х |
|
X е х р { — [1 - |
4 ш7 |
71( ,С0Г-~2 " - ~ ) ] М * - * ) } * » |
(9.88) |
где |
|
|
|
|
(9-89)
О
Таким образом, математическое ожидание ошибки есть сумма
тЕ (t) = mEi (t) + mEa (0 + '«e, (0. |
(9-90) |
где составляющие вычисляют по формулам (9.86), (9.87) и (9.88). Анализ приведенных формул показывает, что система устойчива по математическому ожиданию ошибки, т. е. среднее значение ошибки не возрастает, если выполняется условие
nk0a2 |
j ( сort \ |
< 1. |
(9.91) |
"2^Г |
) |
При больших значениях t функция / х стремится к единице, поэтому условие устойчивости записывается в следующем виде:
С увеличением времени первая компонента математического ожи дания ошибки (9.86) для устойчивой системы стремится к нулю. Второе (9.87) и третье (9.88) слагаемые стремятся к установившимся значениям. Установившееся значение второго слагаемого харак теризует установившуюся ошибку по скорости. Установившееся зна чение третьего слагаемого определяется спецификой взаимодей ствия помехи с флуктуирующим параметром, в результате которого возникает эффект детектирования. Эффект детектирования выра жается в том, что при нулевом значении математического ожидания помехи выходной сигнал имеет ненулевое среднее значение. Прибли женно при больших значениях t третье слагаемое
X
X [со0 sin (O0t + (1 — |
) k0cos co0zf] . |
(9.93) |
»• Как следует из формулы, третья составляющая ошибки изме няется по гармоническому закону с максимальным значением
(9.94)
Вычислим дисперсию ошибки. Для этого предварительно вы числим второй начальный момент ошибки. В соответствии с формулой ошибки (9.77) второй начальный момент ошибки
ГЕ (0 =г, (0 + Г2(0 +Г3(О + (а + btf + 2Г,(t) + 2Г6(t) -
— 2 (a -f bt) a Jt M[g (i, t )] dx -f 2Г„ — 2 (a -+- bt) b x
о
|
t |
t |
|
где |
о |
|
t M [g (t, t) g (t, t ')] dx dx'; |
|
Гх(/) =a2J Jt |
|
0 |
0 |
1 t
Г2(t) = b2J j xx'M [g (t, t) g (t, t ')] dx dx';
о 0
r 3 (0 = |
Jt Jt M [gl (t, x) gl (l, x') N (x) N (t ')J dx dx'; |
о 0 |
Jt |
|
Г4(0 |
= ab Jt |
xM [g (t, t)g(t, x')] dx dx'; |
|
0 |
0 |
|
|
I t |
|
|
|
r 5 (0 = |
a J |
f M [g (t, x) g(/, t') N (t')] dx dx'; |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
/ |
t |
|
|
|
Го (0 = b j |
JtM [g (/, x) |
(t, x') N (x')] dx dx'. |
|
|
о 0 |
|
|
|
|
Введем вспомогательную функцию |
|
|
Q (t, t\ "c, x') = |
M |
exp |
— kl J Z (r)) drj — ! h \ Z (ii) dr)j |
|
|
l |
x |
x' |
) |
В результате вычисления математического ожидания получаем
следующее |
выражение: |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
Jt /?q (T |
|
Q (t, t', x, x') = |
exp — k0 (t — x) — k0 (f — x') + |
2сог X |
X |
« ~ т ) h ( |
(<~ 2т)с0г) + ( Г - х ) / ^ - ^ |
т) ) + |
+ (t ~ т') /х ( (0г(г ~- ^ ) + (Г - Т') / х ( |
|
- |
|
|
шг (х— т') |
|
|
|
2 |
|
|
Используя вспомогательные функции Q (t, f , х, х') и Р (t, х),
запишем составляющие второго начального |
момента |
|
t |
|
Г, (0 = cPQ (t, I, 0, 0); Г2 (t) = b°- |
t — | |
Q (t, t, t, x) dx |
L |
о |
|
|
Г 3(0 = |
J J c o s |
co0x c o s0xco' ( a2 1S° rm(rT(l ~ |
^ |
} + |
|
ll1 |
о о |
|
l |
|
r |
|
|
|
п2кУ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
[2h K |
{t ~ T)) ” 4 |
(c°r (T “ |
T'))] 1212(c°r |
~ T,)) ~ |
— /2((0г (т —x'))]Jexp|— [l — " |
71 7i ( |
Mr(2~ T)- )] |
ko(t — T)} X |
|
X exp {— [ 1 — i ^ |
A ( |
^ ^ |
) ] |
60 V - |
x')} X |
|
X exP { - ^ |
7i ( ЮГ(Т2~Т ) ) *< (T “ T')} dT dX’’ |
|
Г4(0 = |
ab |f[Q (t, t, |
t, t) — Q (t, t, t, 0)] - |
|
|
|
t |
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
— j <? (/, t, t, x) dx + J Q (t, t, |
0, x) dx . |
|
|
