В установившемся режиме Г а = Г4 = Г5= 0, а составляющая
Г ° W = Я: : °
ЦСОг
X ехр
JJ J cos с°от [; а (“ г (т — т')) — 2/я К (/ — т'))] X
q
т Ч 0 Т ( сог (I — т) у /г0 (^ — т) — |
V 2 |
) \ |
поЧо |
/г0 (t — т') — |
соГ Д М - * ') ) |
Остальные интегралы в формуле (9.95) соответственно равны:
|
Jt М [£ (t, т)] dx = P (t, t) +Р (t, 0); |
|
О |
t |
t |
J тM [g (t, t)] dx = P (t, t) t — | P (t, t) dx.
о о
Интеграл в последнем члене выражения (9.95) вычисляют по формуле (9.88).
Дисперсию ошибки определяют как разность второго начального момента (9.95) и квадрата математического ожидания (9.90). Анализ устойчивости системы относительно дисперсии показывает, что устой чивость по этому параметру достигается при более жестком условии, чем устойчивость по математическому ожиданию. Это условие имеет вид
n k 0a 2 r ( s>Tt \ ^ ,
При больших t функция / i (оо) |
= 1, и условие устойчивости |
сводится к выражению |
|
|
n k 0а 2 |
^ |
j |
сог |
^ |
|
Полученные выше результаты можно распространить на случай, когда процесс | (t) является белым шумом. Для этого необходимо выполнить предельный переход ©г —>оо и о2/2сог —>G, где G — интен сивность белого шума.
9.4. Нелинейная система со случайным параметром
Пусть следящая стационарная система имеет структуру, изобра женную на рис. 9.9. Объект управления имеет случайный коэффи циент усиления п и постоянную времени Т. Система управления имеет коэффициент усиления л 0 и ограничение, характеризуемое функ цией ср. На систему действует входной сигнал Z, состоящий из по лезного регулярного сигнала г0 = а0 + axt с постоянными коэффи-
Рис. 9.9. Структурная схема системы со случайным параметром п
циентами и стационарной случайной.помехи N (t) со спектральной плотностью
5лгИ = 50[(Г0со2+1)(7’со2+1)]-1
и равным нулю математическим ожиданием: |
|
Z = z0 (t) + N (t). |
(9.96) |
Задано среднее значение тпи дисперсия Dnслучайной величины п. Будем считать ее не связанной с помехой N.
Определим математическое ожидание и дисперсию ошибки сле дящей системы в установившемся режиме.
Уравнения системы, если воспользоваться структурной схемой,
представленной на рис. |
9.9, имеют вид |
|
(Гр2 |
+ р) Y |
= /up (X); |
|
X = |
п 0 |
(Т0р + |
1) [ Z - У]. |
(9.97) |
Для решения поставленной задачи проведем статистическую ли
неаризацию нелинейности |
ср (X): |
|
|
|
|
|
Ф (X) |
= |
k 0mx + |
^ Х 0, |
(9.98) |
где |
l |
|
|
|
|
|
|
kn - |
|
|
|
|
|
|
(1 + |
»0'® |
|
) “ |
(1 - |
"О ф ( - Т Г 1 )' |
|
|
|
Л- |
г _ J . /'Ч дМ 2 |
_ i ( b z 'J h Y |
|
g |
2 \ |
o, ' ___g |
2 \ CT, |
' |
1 \^2л
m1 |
m x . |
n _ |
V Dx |
|
d ’ |
1— |
d • |
Далее мультипликативную нелинейность nф (X) также заменим статистическим линейным эквивалентом:
mp (X) = тпк0пгх + /гД^ -f- k0mxn° + т п/гаХ°, |
(9.99) |
где
0^ = М[л°Х°(О]-
п° = п — тп.
Подставив выражение (9.99) в уравнение (9.97), получим свя занные системы уравнений для математических ожиданий и центри рованных составляющих:
|
|
СГр2 + Р) ту = mnk0mx + |
|
(9.100) |
|
|
тх = |
п0 (Т0р + 1) (z0 — пгу); |
|
|
|
|
|
(Гр2 + р) У° = тЛ Х » + /г0т Лд°; |
(9.101) |
|
|
Х° = п0(Г0р -}- 1) (Л/ — F0). |
|
|
|
В установившемся режиме |
уравнения |
(9.100) имеют решения |
|
|
т Л- = |
«1/1*0 |
тпк0 ’ |
|
(9.102) |
|
|
ту = а0 |
—т— + |
- * Ф - |
+ |
(9.103) |
|
|
|
|
|
/«Л*0«0 |
"1/1*0»0 |
|
|
На основании уравнений (9.101) для установившегося режима |
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
Ц ,= |
I |
(Т0/со -(- 1) (Тш + |
1) £со |
|
|
Т (но)2 + |
[1 + |
m^iioTo] ш -|- n0l<imn SN(со) с/со -)- |
|
|
|
|
|
|
font |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0'“х |
|
|
(9.104) |
|
|
|
|
|
|
О . О Dn^ П у |
|
|
|
|
|
|
mnkI |
|
|
|
D ,= |
J |
|
m„nakl (T„/со + |
1) |
(со) f/co |
|
Г (/со)2 + |
[1 + |
|
|
|
|
|
|
mn*i/i0Tо] /со + /i0*i«!,i |
|
|
|
|
|
+ |
|
*оЧ A i; |
|
(9.105) |
|
|
|
|
0,,v = |
*0mx Г) |
|
(9.106) |
|
|
|
|
1«Л*1 |
“ |
|
|
Подставляя |
в формулы |
(9.104) и (9.105) |
выражение для |
S N (со) |
и вычисляя интегралы (приложение 2), получаем формулы для дис персий:
|
|
S„n; |
|
,2 2 |
|
|
|
|
Dr = |
о“о |
+ |
lr0mx |
D„ |
|
(9.107) |
|
2Т (1 -|- ШпПак.Т0) |
2 ,,2 |
|
|
|
|
mnkl |
|
|
|
г) |
______ cS0(1 -г Т -f- Т0с)______ |
|
I I I |
|
(9.108) |
|
k0mx |
п |
У |
2 (1 + |
СГ0)[14-Г + С(Г+Г„)] |
2„2,,2 |
и П’ |
|
|
|
|
|
|
K'Wi |
|
|
где с = mniigki.
Используя формулы (9.102) и (9.106), окончательно получаем
Выражения для /г0 и к ъ а также выражения (9.107) и (9.109) образуют систему уравнений, из которой любым методом численного решения можно определить величины тх, Dx, k 0, k x. После определе ния коэффициентов /г0 и k 1 вычисляют математическое ожидание и дисперсию ошибки:
Г л а в а 10 ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
10.1. Постановка задач теории оптимальных систем
В предыдущих главах были изложены методы исследования точности автоматических систем, имеющих заданные характеристики. Однако на практике часто приходится решать задачу проектирования си стемы, когда требуется определить характеристики системы таким образом, чтобы она имела наибольшую точность при данных усло виях. Систему, обеспечивающую наибольшую возможную точность с какой-нибудь определенной точки зрения среди всех систем задан ного класса, обычно называют оптимальной. Характеризующая качество системы величина, максимальное или минимальное значе ние которой достигается для оптимальной системы, называется кри терием оптимальности.
Оптимальную систему можно найти подбором с помощью мето дов, изложенных в предыдущих главах. Для этого надо рассчитать различные варианты системы одним из изложенных в предыдущих главах методов, сравнить их и выбрать вариант, для которого при нятый критерий имеет наибольшее или наименьшее, в зависимости от характера задачи, значение. Однако этот путь сложен и требует большего количества вычислений, которые часто бывают очень трудоемкими.
Задача непосредственного определения оптимальной системы имеет две постановки. В первой постановке задается структура си стемы и требуется найти оптимальные значения ее числовых пара метров, при которых ее точность будет наилучшей с точки зрения выбранного критерия. Эта постановка задачи характерна для син теза системы из заданных элементов с известными характеристиками. Так, например, проектируя систему управления для заданного объекта и располагая заданным ассортиментом элементов с изве стными характеристиками, из которых должна быть составлена си стема управления, конструктор может выбирать, но в определенных пределах, структуру системы управления и числовые значения па раметров некоторых элементов. При такой постановке задача опре деления оптимальной системы сводится к обычной задаче отыскания экстремума функции одной или нескольких переменных. Следует заметить, что, как правило, зависимость критерия качества от па раметров, которые можно варьировать, будет настолько сложной, что использовать аналитические методы нахождения экстремума не представляется возможным. В этих случаях пользуются численными
