Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Докажем, что преобразование входного сигнала, определяемое формулой (10.9), обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум по сравнению с любой другой линейной системой при любом воз­ можном значении и случайной величины U. Если заменить вели­ чину U ее возможным значением и, то полезная часть сигнала

s (/) = ub (t).

Дисперсия шумовой части сигнала (10.9) на основании второй формулы (10.8) и известной формулы для дисперсии интеграла от белого шума определяется соотношением

на выходе фильтра, осуществляющего преобразование (10.9) вход­ ного сигнала X (/), обычно принимают равным отношению абсолют­ ной величины реализации полезной части сигнала (10.9) к среднему

Рассмотрим теперь фильтр, который выполняет те же операции, но умножает входной сигнал X (т) не на функцию ср (т), а на другую функцию ф (т). Полезная часть выходного сигнала такого фильтра и дисперсия шумовой части определяются формулами

i

Si (/) = и | ф (т) ср (т) dx, tо

t

Dm (t) = G j ф2(t) dx.

На основании известного неравенства Буияковского—Шварца

! 2 1 !

J 1|) (т) ср (т) dr ^ J ф2 (т) dr J ф2 (т) dr

Сравнив правую часть этого неравенства с выражением (10.11), видим, что у! ^ у. Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе любого линейного фильтра не может превзойти такое же отношение на выходе фильтра, осуществляющего преобразование (10.9). Фильтр, осуществляющий это преобразование, обычно называют согласо­ ванным фильтром. Согласованный фильтр преобразует выходной сигнал таким образом, что в результате на выходе получается наи­ большее возможное отношение сигнал/шум.

Сравнивая выражение (10.9) для выходного сигнала согласован­ ного фильтра с выражением (10.7) входного сигнала системы, видим, что для воспроизведения полезного сигнала 5 (/) = Uф (/) без си­ стематической ошибки следует умножить выходной сигнал согласо­ ванного фильтра на ф (t)lb (t). Иными словами, следует подключить к выходу согласованного фильтра усилитель с переменным коэффи­ циентом усиления ф (t)lb (/). Выходной сигнал на выходе такой системы

Ошибка системы

Е (D = Y (/) - Ут (/) = У (0 - UФ (/) = Щ Zm(0.

Имея в виду, что математическое ожидание белого шума, а сле­ довательно, и математическое ожидание случайной функции Zm (t) равно нулю, а также принимая во внимание формулу (10.10), опре­ делим средний квадрат ошибки найденной оптимальной системы:

Легко понять, что найденная система обеспечивает минимум ди­ сперсии ошибки при нулевой систематической ошибке, или, что

то же самое, условный минимум средней квадратической ошибки при нулевой систематической ошибке.

Если взять меньший коэффициент усиления выходного сигнала согласованного фильтра, то появится систематическая ошибка, а дисперсия шума на выходе уменьшится. Естественно ожидать, что при этом можно получить некоторое уменьшение суммарной средней квадратической ошибки. Это вполне согласуется с извест­ ным положением, что абсолютный минимум не может быть больше условного минимума. Обозначим неизвестный коэффициент усиле­ ния выходного сигнала согласованного фильтра к и найдем такое значение к, при котором средний квадрат ошибки системы имеет минимальное возможное значение. Ясно, что коэффициент к зависит от времени t. Однако, имея в виду, что момент t является фиксиро­ ванным, не будем указывать эту зависимость. Умножив выходной сигнал согласованного фильтра (10.9) на к, найдем выходной сигнал

Вычитая из этого выражения требуемый выходной сигнал YT (i) = = t/cp (/), найдем ошибку системы:

Е (0 = U [кЬ (/) — ср (/)] + kZm (I).

Отсюда, принимая во внимание формулу (10.10) для дисперсии ошибки шума на выходе согласованного фильтра, получаем следую­ щее выражение среднего квадрата ошибки системы:

-If- = 2у„ [kb (0 - ср (/)] Ь(0 + 2kGb (0 = 0.

Отсюда находим

ЧиЪ (/) 4- G

Подставив найденное выражение к в формулу (10.15), находим минимальный средний квадрат ошибки оптимальной системы:

где показана явно зависимость к от времени t. Сравнивая эту фор­ мулу с (10.13), видим, что найденная оптимальная система дает средний квадрат ошибки в

раз меньший, чем система, обеспечивающая минимум дисперсии ошибки при нулевой систематической ошибке.

Итак, оптимальная система для фильтрации сигнала известной формы в случае, когда помеха — белый шум, представляет собой

260

Рис. 10.1. Оптимальная одно­

Согласованный фильтр представляет собой последовательное соеди­ нение усилителя, коэффициент усиления которого численно равен значению полезного сигнала ср (t), и интегратора. На рис. 10.1 показана структурная схема оптимальной системы.

Изложенный метод дает возможность определять оптимальные системы как с бесконечной памятью,.так и с конечной памятью Т. В последнем случае следует во всех формулах заменить нижний предел интегрирования 10 на 1— Т.

В некоторых практических задачах форма полезного сигнала не­

Определив таким путем функцию ср (t), можно рассмотренным выше способом найти оптимальную систему. Однако в таких случаях целесообразнее непосредственно найти дифференциальное уравне­ ние оптимальной системы с бесконечной памятью. С этой целью

Дифференцируя уравнение (10.19) по времени t и опуская для

Умножим это выражение на X и вычтем из него выражение (10.19), умноженное на X, в результате получим

261