где Coj — не известный пока коэффициент. Тогда будем иметь
j W«2 (Х) dx =С21Ь11(0 +Ь12(О-
(о
Отсюда видно, что если принять
|
„ |
21 ~ |
^12 (О |
|
|
|
ьи (/) J |
|
то |
получим |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
J со г (т) со 2 (т) dx = 0. |
|
|
tО |
|
|
|
ш2 |
Подставив выражения |
функций фх (т) и ср2 (т) |
через ©t (T) и |
(т) в выражение для входного сигнала системы, |
будем иметь |
X (т) = (С/х — c21U2) ©j (т) + U2<вЕ(т) + N (т).
Вводя новые случайные величины
V1 = Ui — c21U2, V4 = U2,
получим
х (т) --= 1/j©! (т) + У,ш2 (т) + N (т).
Таким образом, общий случай сводится к только что рассмотрен ному, так как функции ©j (т) и со2 (т) удовлетворяют условию (10.29). Поэтому оптимальная система может быть найдена с помощью изло женного метода. В результате, обозначив коэффициенты усиления выходных сигналов согласованных фильтров (.ц и р 2, получим сле дующее выражение для выходного сигнала оптимальной системы:
Y (i) = Pi J ©i (т) X (t) dx -(- p2 1 ©2 (т) X (t) dr.
Заменив здесь функции ©j (т) и ©2 (т) их выражениями через функции ф] (т) и ф2 (т), получим
У (t) — (Pi + с21р2) | Фх (т) X (т) dx -f- р2 J ф2 (т) X (т) dx.
to |
to |
Наконец, полагая |
|
Я.1 = P i 4 " C 2 i P 2i ^ 2 = |
p 2 i |
получим |
|
t |
|
Y (t) = | фг (т) X (t ) dx |
Ф 2 (т) X (т ) dx. |
iО |
|
Отсюда видно, что оптимальная система в рассматриваемом слу чае имеет ту же структуру, что и в предыдущем случае. Иными сло вами, и в случае, когда условие (10.29) не выполняется, оптимальная
система состоит из параллельного соединения согласованных фильт ров с усилителями их выходных сигналов. Для непосредственного определения коэффициентов усиления выходных сигналов согласо ванных фильтров в этом случае запишем выражения выходных сигналов согласованных фильтров. Пользуясь обозначениями (10.31) и (10.38), находим
t |
|
|
\ |
Zi (t) = j |
cpi (т) X (т) d%= |
U1bn (t) + |
Ифп (t) -f Z1UI (t), |
z 2 (0 |
|
|
(10.39) |
= |
^ Ы 0 + |
£Л М 0 + z 2uI (0- |
Выходной сигнал оптимальной системы выразится в данном слу чае формулой
Y (t) = X, Ш ф , г (i) + U2bl2 (01 +
+ х 2 [ и ф 12 (0 + и 2ь г2 (01 +
+(/) + X2Z 2m (t).
Вычитая отсюда выражение
Ут (t) = S (0 = U1ф, (t) + £/а«ра (0
для требуемого выходного сигнала, найдем ошибку системы:
Е (0 = Uг 1Хфг1 (t) + Хф 12 (0 — ф1 (t) ] +
-г U 2 [^ib12 (0 + Х2 Ь22 (0 — фа (0 1 +
+ XiZlin (f) + ^2^2ш (0-
Найдем средний квадрат ошибки. Для этого учтем, что шумы на выходах согласованных фильтров в данном случае коррелированы и их корреляционный момент определяется формулой
М [Zlm (t) Z2U1(01 = G Jt фх (т) cp2 (т) dx = Gblt (t). to
Принимая во внимание эту формулу и формулы (10.34) для ди сперсий шумов на выходах согласованных фильтров и опуская для краткости аргумент t, получаем средний квадрат ошибки на вы ходе системы:
г) = М [Е2 (t)] = у ц (Хф1г + Х2Ь12 Фх)2 +
“Ь Y22 {Хф12, “Ь Хф 22 |
Ф2)2 "Ь 12 (^1^11 “Ь Х2Ь\2 |
— ф0 (^1^12 + |
A,2^22— фг) + |
G {Xibu + |
2X1X2£>12 -Ь ^2^22). |
(10.40) |
Дифференцируя это выражение по Xj и Х2и приравнивая производ ные нулю, получаем следующие уравнения для определения опти мальных значений коэффициентов усиления /Д и Х2:
= 2упЬп { Х ^ + Х2Ь12— ср) + 2у22Ь12 (Хфи + Х2Ь22— ср2) +
4 2уАи (^А г 4 |
— Фг) + |
2l’i2^i2 (^A i “Г |
— 9i) 4 |
|
|
|
4" 2G (X1bn -f- X2b12) = О, |
|
|
|
-Qj~ = %Xnb12A A i -f" X2b12■— срг) -)- 2y22b22 |
4- X2b22— cp2) 4" |
|
4" 2Yl2^12 (^А г 4 |
^2^22 '—’Фг) 4 |
2y12^22 (^A l 4" ^2^12 ' фг) 4 |
|
или |
|
4- 2G (A,j_&12 4- X2b2^) = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьц [Yu (^A i 4- ^2^12 — Фх) 4 |
Y12 (^Аг 4" X,b22 |
ср2) + G^J + |
|
4 bl2 [Yl2 4 A l 4 ^2^12 -- Ф1) 4- Y22 (^1^12 4- X.2b22-- (p) 4 - G^2] = |
0, |
Ьц [Yll A A 4- Y2A -- Ф1) 4- Y12 A A |
4 |
X2b22-- (p2) 4“ G^j] + |
|
4- b22 [Yl2 (4Al A ^2^12-- Ф1) 4" Y22 A A |
4 |
Х2Ь22--- cp2) 4 - ga2] = |
0 . |
Заметим, |
что на |
основании |
неравенства |
Коши—Буняковского |
и? |
Г |
* |
I |
|
|
I |
|
|
|
J Ф1 (т) ф2 (т) dx ^ |
| |
ф! (т) dx J cpl (т) dx — ЬцЬ22, |
|
Ь12 = |
|
причем знак равенства может иметь место только тогда, когда функ
ции cpi |
(т) и срг (т) |
линейно |
зависимы. |
Однако этот случай, оче |
видно, |
сводится |
к |
случаю |
сигнала |
известной формы. |
Поэтому |
b12 < ЬпЬ22 и рассмотренные уравнения |
представляют |
собой одно |
родные линейные |
уравнения |
относительно |
выражений |
в |
квадрат |
ных скобках с неравным нулю определителем. Следовательно, |
|
Yu (A A i 4 |
X2bi2 |
ф4 4" Yiг |
ibi2 4 X2b22 |
|
|
|
|
|
|
— Фг) 4 |
GXl = |
0, |
|
|
|
|
Y1 2 (A A i 4 |
X2bj2 |
ф2) -I- У22 (A A 2 4 |
|
|
|
|
|
4 |
X2b22— ф2) + |
gx2 = 0, |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h’3 4 11 |
(0 4 |
Y12&12 |
A |
4 G] A |
4 |
[упА г (0 4 |
|
|
4 Y12A 2 (01 A |
= |
Y1 1Ф1 |
(0 |
4 |
y1 2Ф2 (0; |
|
(10.41) |
|
[Y 1 2 ^ 1 1 |
(0 4 |
YггЬi 2 (01 A |
4 |
ГY1 2 ^ 1 2 (0 4 |
|
|
|
|
|
4 у 22b22 (0 4 |
G] X2 — Y i^ i |
(0 |
4 y22Ф2 (0- |
|
) |
Определив из уравнений (10.41) коэффициенты усиления А и Х2 и подставив полученные результаты в выражение (10.40), получим
Рис. 10.5. Млогомернап оптимальная система
формулу (10.37) для минимального среднего квадрата ошибки оптимальной системы.
Совершенно так же доказывается, что и в общем случае фильтра ции полезного сигнала (10.27) при произвольном N оптимальная система представляет собой параллельное соединение согласованных фильтров, к выходам которых подключены усилители (рис. 10.5).
Оптимальные значения коэффициентов усиления Я,, . . ., |
выход |
ных сигналов согласованных |
фильтров Z y (t), . . ., ZN (t) |
опреде |
ляются системой |
уравнений, |
аналогичной |
системе (10.41): |
|
N |
Г N |
|
|
|
|
(10.42) |
|
£ УгрЬр, (1) -Г 6rsG |
К = |
т,„фр (t), |
5= 1 IP =1 |
|
|
|
р —I |
|
|
(/•= 1. |
.... |
N) |
|
|
где |
Ьрч(*) = bq„ (0 = |
j ср,, (т) <р, (т) dr, |
(10.43) |
(P,Q— 1, . . . . Л/).
6rs — символ Кронекера. Минимальный средний квадрат ошибки оптимальной системы
Л* = G Б МО ЧУ(О- |
(Ю.44) |
р= I |
|
|
Изложенный метод применим |
для оптимальных |
фильтров как |
с бесконечной, так и с конечной |
памятью Т. В последнем случае |
следует заменить нижний предел |
интегрирования t0 на t — Т. |
Если функции срг (t) неизвестны, но известно линейное дифферен циальное уравнение (в данном случае уравнение N-го порядка), определяющее полезный сигнал 5 (/), то, как и в предыдущем пара графе, можно решить задачу нахождения дифференциального урав нения оптимальной системы с бесконечной памятью.
10.5.Оптимальное преобразование сигнала
Впредыдущих двух параграфах была рассмотрена задача филь трации полезного сигнала, когда требуемый выходной сигнал совпа дает с входным полезным сигналом: Ут (I) = 5 (/). Однако на прак тике часто приходится проектировать системы для различных пре-
