Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

заменяют приближенной зависимостью, нелинейной относительно математического ожидания тх и формально линейной относительно Х°:

Величина ср„ представляет собой среднюю статистическую характеристику нелинейности; k l — статистический коэффициент усиления нелинейности по случайной составляющей. Для нелиней­ ностей, имеющих нечетные характеристики, функцию ср0 можно выразить в виде

где /г0 — статистический коэффициент усиления по математиче­ скому ожиданию.

Функция ср0 и статистические коэффициенты усиления /г0, k x определяются на основании критерия вероятностной эквивалентности зависимостей (1.65) и (1.70). С точки зрения корреляционной теории таким критерием является условие равенства соответственно матема­ тических ожиданий п дисперсий истинной и аппроксимирующей слу­ чайных функций или условие минимума средней квадратической

где niy — математическое ожидание функции У; ср0— математиче­ ское ожидание аппроксимирующей зависимости (1.70); Dx, Dy —■ дисперсии переменных X, Y соответственно. Второе равенство (1.72)

служит для определения коэффициента

определяется направлением возрастания или убывания в функции ср при изменении аргумента. Если функция нечетная, то коэффициент k 0 определяется формулой

Второй критерий состоит в выполнении условия минимума вто­

30

При известных М [F 2], ту, Dx, М [FX0] величина г) является функцией сро и /гх. Приравнивая нулю частные производные г) по ф0 и /гх, получим

Для вычисления функции ср0 и коэффициентов /г0 и /гх необходимо знать одномерную плотность вероятности f (х) для каждого текущего момента времени t на входе в нелинейность. Формулы (1.73), (1.77) принимают вид

00

■*—со

где верхние индексы у коэффициентов k[l) указывают способ линеари­

зации. Расчетные формулы для /г{2) проще формул для Ар. Точность же окончательных расчетов практически одинакова.

В общем случае при вероятностном исследовании нелинейные безынерционные элементы автоматических систем управления можно представить как многомерные функциональные зависимости с неадди­ тивными связанными входными случайными сигналами:

где ф — произвольная однозначная нелинейная функция входных не­ аддитивных связанных случайных переменных Х х, . . ., Х п. В част­ ности это относится к однозначным характеристикам реальных одно­ мерных нелинейных и множительных элементов. К такому же виду приводятся неоднозначные нелинейные характеристики гистерезис­ ного типа, если в число входных переменных включить производную, определяющую неоднозначность. Наконец, безынерционные нели­ нейные и линейные элементы со случайными параметрами также можно рассматривать как многомерные функциональные зависимости с неаддитивными входными случайными сигналами.

Представим каждую случайную переменную Х£(t) в виде

X l (l) = mXi(l) + X? (О,

где mx (i) — математическое ожидание; Х° (I) — центрированная

составляющая случайной функции Х(. (/). Линеаризованную зави­ симость для нелинейности (1.81) примем в форме выражения

i= i

31

где ср0 и k t — неизвестные неслучайные функции вероятностных ха­ рактеристик входных случайных процессов.

Функция ф0 называется статистической характеристикой нелиней­ ности, a ki — статистическими коэффициентами усиления случай­ ных составляющих. Для их определения применим критерий мини­ мума средней квадратической ошибки аппроксимации

где М — оператор математического ожидания. Выполнив операции, указанные в выражении (1.83), получим

При известных М [ср2], М [ср], М [Х9Х9], М [срХ?] величина т)

является функцией параметров ср0, к... Поэтому к выражению (1.84) можно применить необходимое условие экстремума функции г) по параметрам ср0 н kt. Приравнивая нулю частные производные функции т| по ср0 и /г,., получаем уравнения

(/ = 1, • • ., п).

Разрешая систему уравнений (1.86) относительно кр получим

П

(1.87)

/=1

(i = 1, • ■ п),

где А — определитель системы уравнений (1.86); А) — алгебраиче­ ское дополнение элемента г'-го столбца, /-й строки определителя А.

В частном случае для несвязанных случайных переменных, вхо­ дящих в зависимость (1.81), формулы (1.87) принимают вид

При вычислении статистической характеристики ср0 и коэффи­ циентов k( по вышеприведенным формулам необходимо знать закон распределения совокупности переменных f (хъ . . ., хп) для каждого текущего момента времени. В замкнутых автоматических системах истинный закон распределения переменных на входе в нелинейный

32

элемент неизвестен. При выполнении статистической линеаризации

ивычислении функций cp0, kt принимают некоторый нормальный эк­ вивалентный закон распределения, имеющий параметры — первые

ивторые вероятностные моменты, совпадающие с фактическими. Это основное допущение метода статистической линеаризации бази­ руется на свойстве сложных систем, включающих инерционные ли­ нейные цепи, нормализовывать законы распределения случайных переменных.

Втаком случае величины ф0 и /г,- оказываются функциями мате­ матических ожиданий тх. и корреляционных моментов связи

Qt i (t) = M [*?(/) Х° (/)].

Итак, предположим, что в общем случае сигнал на входе в нели­ нейный элемент имеет закон распределения, заданный в следующей форме:

При нормальной плотности вероятности (1.89) для коэффициентов статистической линеаризации k£ имеет место также другая формула, которая удобна для получения их в'случае сложных нелинейностей. Эта формула получается путем дифференцирования выражения ср0 частным образом по тХ£:

Имея в виду формулы (1.89) и (1.90), получим

Подставляя выражение (1.92) в уравнение (1.91), получим

Сравнивая правые части формул (1.87) и (1.93), находим, что

(t = 1, . . ., п)

Легко показать, что необходимые условия экстремума (1.85) и (1.86) функционала (1.84) определяют в данном случае минимум выражения гр Для этого будем считать, что искомые коэффициенты в выражении (1.84) равны ср0 + к0, ki + иг Подставляя их в выраже­ ние (1.84), получим

(1.86). Рассмотрим примеры нелинейностей и их статистические линеа­

Для вычисления функции ср0 применим формулу (1.78) при нормальном законе распределения X с параметрами тх, Dx:

о

34