Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

У=ср(х)

Ydx

=2/Ф

V~DX Г

где

11

Ф (г) = j J . " 9 dt

У^2п о

является функцией Крампа.

Для определения коэффициента к1 применим формулы (1.79) и (1.80). В резуль­

Пример 1.7. Определить статистические характеристики неоднозначной нели­ нейности (рис. 1.7, б). Эту зависимость можно представить в однозначной форме, если в число входных переменных ввести производную;

Обозначив переменную X — X v а X = Х 2, линеаризованную зависимость запишем в виде

У = Фо + >hx °i -I- k 2X l

Пример 1.8. Нелинейность типа идеального реле со случайным уровнем выход­ ного сигнала

У = Х х sign Х 2.

Статистически линеаризованная зависимость имеет вид

У — Фо + ^lX l + ^2/Y2-

Применяя формулу (1.85), определяем ср0, в этом случае

36

2.1. Постановка задачи анализа

Как известно, любая автоматическая система в реальных условиях работы находится под действием полезных управляющих сигналов и помех, причем случайные помехи накладываются на полезные сиг­ налы. В результате этого входные и выходные переменные динами­ ческой системы представляют собой случайные функции времени. Кроме того, параметры автоматических систем являются случайными, что обусловлено допусками при производстве элементов, а также изме­ нением их свойств в процессе работы. Следовательно, реальные дина­ мические системы являются стохастическими, т. е. характеристики систем и процессы в них являются случайными.

Чтобы полностью охарактеризовать случайный процесс, необ­ ходимо на множестве его реализаций задать вероятностную меру. В качестве такой вероятностной меры служит /i-мерный закон распре­ деления векторной случайной функции для всех п произвольно взя­ тых значений ilt . . ., tn аргумента при любом п. Более общей харак­ теристикой непрерывной векторной случайной функции являются функционалы распределения. В практических расчетах полными вероятностными характеристиками случайных процессов — законами распределения — пользоваться неудобно из-за сложности их вычис­ ления. Поэтому применяют менее полные, но зато более простые вероятностные характеристики — начальные и центральные моменты

.случайных функций и величин, характеризующих поведение динами­ ческих систем. Наиболее широко применяют начальный вероят­ ностный момент первого порядка, представляющий собой математи­ ческое ожидание случайной функции mx (i) = М [АТ (01. второй центральный вероятностный момент одной случайной функции

Кх &, t2) = M \ (X (tx) - тх (tx)] [X (t.J - mx(f8)]},

представляющий собой корреляционную функцию, и второй централь­ ный смешанный вероятностный момент пары случайных функций

Кху (/ь t2) = M\ [X (Ч) - тх( Щ Г (to) — т„ (/2)1},

представляющий собой взаимную корреляционную функцию. Здесь чертой сверху обозначены комплексно сопряженные значения функ­ ций. При равных значениях аргументов t2 — tx = t корреляционная функция совпадает с дисперсией Dx (t) = Кх (t, i), а взаимная кор-

38

реляционная функция превращается в корреляционный момент связи для данного момента Kxy{t, t) = 0Л.у (t).

Задача статистического исследования системы управления или любой динамической системы заключается в оценке вероятностных моментов случайных функций, характеризующих поведение системы, в оценке точности воспроизведения или преобразования заданных или случайных полезных сигналов в присутствии помех, в оценке ка­ чества процессов управления при действии случайных возмущений, а также при случайном изменении ее параметров.

Качество процессов управления оценивается по статистическим критериям. К ним относятся критерии, оценивающие точность или вероятность выполнения задачи, возлагаемой на систему. Выбор кри­ терия зависит от вида системы и ее назначения. Критерий качества должен отражать качество работы системы с необходимой для прак­ тики полнотой и в то же время он должен быть такой величиной, ко­ торую можно достаточно просто вычислить или измерить сущест­ вующими практическими способами.

Одним из важных и распространенных критериев оценки качества управления является критерий точности работы динамической си­ стемы при случайных возмущениях. При этом полезные сигналы рас­ сматриваются как неслучайные заданные функции времени. При таком подходе математические ожидания входных случайных функ­ ций представляют собой полезные входные сигналы, если измери­ тельные элементы и другие устройства свободны от систематических ошибок, которые легко устраняются регулировкой приборов. Слу­ чайные колебания входных переменных около их математических ожиданий представляют собой внешние помехи, нарушающие нор­ мальную работу системы и приводящие к случайным ошибкам в вы­ ходных переменных. Кроме того, в системе могут возникать внутрен­ ние случайные помехи и случайные отклонения ее параметров, также вызывающие случайный характер изменения входных переменных.

Разности между фактическими выходными сигналами и требуе­ мыми выходными полезными сигналами представляют собой ошибки

Математические ожидания ошибок являются систематическими ошибками и представляют собой разности между полезными и тре­ буемыми выходными сигналами, т. е.

Случайные колебания (флуктуации) выходных переменных отно­ сительно математических ожиданий представляют собой случайные ошибки системы

Е?(0 = К?(0,

(t = 1, . . ., п)

39