Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сительио с. Таким образом, алгоритм системы, оптимальной с точки зрения критерия Неймана—Пирсона, совершенно не зависит от вероятности р присутствия полезного сигнала во входном сигнале системы. В этом состоит большое преимущество критерия Неймана— Пирсона по сравнению с критерием минимума вероятности ошибки, обычно называемым критерием идеального наблюдателя Котель­ никова—Зигерта.

12.7. Определение оптимальных параметров системы, имеющей заданную структуру

При синтезе системы, линейной или нелинейной, из заданного набора типовых элементов обычно приходится рассматривать срав­ нительно небольшое число различных возможных вариантов систе­ мы, и в каждом варианте конструктор может распоряжаться срав­ нительно небольшим числом параметров. Как правило, такими пара­ метрами служат сопротивления, емкости и индуктивности в электри­ ческих цепях системы и коэффициенты усиления усилителей.

Если структура системы выбрана, то для определения оптимальных значений ее параметров необходимо найти зависимость приня­ того критерия качества от параметров системы. В простейших слу­ чаях эту зависимость можно найти в аналитической форме. При этом оптимальные значения параметров системы определяются системой уравнений, полученных приравниванием нулю частных производ­ ных критерия качества по неизвестным параметрам системы.

В сложных случаях, когда уравнения, полученные приравнива­ нием нулю производных критерия качества по параметрам сис­ темы, нельзя решить аналитически или когда не удается выразить критерий качества аналитически через параметры системы, для на­ хождения оптимальных значений параметров системы приходится прибегать к приближенным численным методам. Наиболее эффектив­ ным численным методом нахождения минимума функции является метод наискорейшего спуска и различные его разновидности. Задача нахождения максимума функции, очевидно, приводится к задаче нахождения минимума изменением знака функции.

Для выяснения идеи метода наискорейшего спуска рассмотрим сначала случай, когда требуется найти оптимальные значения двух

параметров

системы a lt а 2. Критерий качества является функцией

f (а1 , а 2),

минимум которой соответствует оптимальной системе.

Равноценным с точки зрения принятого критерия качества системам на плоскости параметров a lt a 2 соответствует кривая

f (alt

a 2) = с,

(12.72)

которая является линией

уровня

поверхности г = / (а2, а 2). Раз­

личным значениям параметра с соответствуют различные линии уровня (рис. 12.2).

Пусть (a"\ а£!) — точка, для которой вычислено значение функ­

ции /. Проведем из этой точки, как из центра, окружность бесконечно малого радиуса ds и найдем на этой окружности точку, в которой

345

функция / имеет минимальное значение. Предполагая, что существуют непрерывные ча­ стные производные функции / по а х и а 2, находим диф­ ференциал функции / в точке

(а'", а£‘):

 

df =

/«, dai + /«,

da2 =

 

=

(/„,

cos ф +

/;, sin ср) rfs,

 

 

 

 

 

(12.73)

 

где

аргументы

функций f ,

Рис. 12.2. Определение градиента функции в про­

f

для

краткости

опущены.

странстве параметров

 

 

 

 

 

Для нахождения минимума выражения (12.73) приравниваем нулю его производную по ср:

— /а, Sin ф + /а, cos ф = 0.

Отсюда находим

cos ср = ± kfai, sin ср = ± kf’a2,

1

k • (12.74)

2 + / '2 v i ах ~ 'а 2

где должны быть взяты либо оба верхних знака, либо оба нижних. Очевидно, что df будет положительным, если взять верхние знаки, и отрицательным, если взять нижние знаки. Таким образом, нижние знаки в формулах (12.74) соответствуют минимуму df и при смеще­ нии от точки (а"1, а£‘) на данную бесконечно малую величину ds

наилучшее приближение к минимуму функции / достигается, если

выбрать смещение в направлении вектора

с

соответствующими

— f , —f'a . Но вектор с составляющими /^,

/^

представляет собой

вектор градиента функции / на плоскости параметров а ъ а 2, нор­ мальный к линии уровня (12.72) функции / (рис. 12.2). Следователь­ но, для быстрейшего приближения к минимуму функции /, т. е. для скорейшего спуска по поверхности, изображающей функцию /, необходимо из каждой точки двигаться в направлении, противопо­ ложном направлению вектора градиента функции /. Иными словами, в каждой расчетной точке необходимо выбирать приращения пара­ метров системы пропорциональными соответствующим составля­ ющим вектора градиента функции / с отрицательным коэффициентом пропорциональности —km\

A a ? = — k j'ai (о™, а»), Да'" = — k J ’Ui (<*'", < ) .

В результате на плоскости а 1г а 2 получим ломаную, вершинами которой являются расчетные точки (см. рис. 12.2). Если увеличивать неограниченно число расчетных точек, неограниченно уменьшая

346

отрезки ломаной, то в пределе получим кривую, по которой будет течь по поверхности функции f вода, вылитая в какой-либо точке этой кривой.

Совершенно так же доказывается, что для скорейшего приближе­ ния к минимуму функции п параметров / (alt . . ., а„) необходимо для каждой расчетной комбинации значений параметров а"1, . . ., а "1

выбирать приращения параметров а ъ . . ап пропорциональными соответствующим частным производным функции / с отрицательным коэффициентом пропорциональности —/г„„ т. е. двигаться в п-мер- ном пространстве параметров а ъ . . . ,а„ в направлении, противо­ положном вектору градиента функции /. Для доказательства поло­ жим

 

dat =

h

ds\

 

 

 

(i

= 1 ,

. . .,

n)

 

(12.75)

 

£ ? + . . . +

S*

=

1 .

Тогда дифференциал функции f

 

 

 

 

 

d f = Y

fa dat =

Yi fa,li ds.

(12.76)

 

i=i

1

 

i=l

‘

 

Так как £х, . . .,

связаны вторым уравнением (12.75),

то для

нахождения минимума df в данном случае удобнее всего воспользо­ ваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Согласно этому методу для нахождения минимума df следует приравнять

нулю частные производные по

. . ., %п выражения

 

 

Yi fafii + ^ S

Ъ-

 

 

i= l

1

i= l

 

 

В результате

получим

 

 

 

 

 

fat

+

2КЬ =

0.

(12.77)

 

(t

=

1 , ■• ., п)

 

После решения

этих уравнений относительно

. . ., £„ вели­

чину К определяют из второго уравнения (12.75). В результате полу­ чим

Si =

-

 

(7

=

1 , . . . , п)

 

т =

V s f i ’

< i 2 j 8 )

что и требовалось доказать.

Таким образом, метод наискорейшего спуска дает следующую последовательность расчетных комбинаций значений параметров

347

.ац

начинающуюся в

произвольно

выбранной

исходной

точке (а®,

. . а°);

 

 

 

 

 

а Г И =

а »« — k j ' ai (а"\ . .

а"').

(12.79)

 

(«=

1 , ■•

«; tn = 0, 1 ,

2).

 

Вопрос о выборе длин шагов, т. е. чисел кт, решается в каждом конкретном случае опытным путем. При этом можно рекомендовать пользоваться следующими общими соображениями. При слишком малых числах /г,п приближение к минимуму будет медленным и объем вычислений будет большим. При слишком больших /г,п может случиться так, что функция / при переходе отт-й точки к (т + 1)-й возрастет (т. е. произойдет «перескок» через минимум). Поэтому числа km желательно выбирать возможно большими, но достаточно малыми для того, чтобы функция f убывала при переходе из каждой расчетной точки в следующую. Наиболее рациональным является такой выбор чисел /гш, при котором вектор градиента повора­ чивается приблизительно на 90° при переходе из каждой расчетной точки в следующую, т. е. при котором скалярное произведение век­ торов градиента функции / в соседних расчетных точках близко к нулю. В тех случаях, когда вычисление градиента функции f зна­ чительно сложнее, чем вычисление самой функции f. Н. М. Сотский рекомендует вычислять значения функции / для ряда значений km и выбирать каждый раз такое значение /е„„ при котором функция f имеет наименьшее значение. Очевидно, что при таком способе под­ бора значений kin вектор градиента функции f будет поворачиваться приблизительно на 90° при переходе от каждой расчетной точки к сле­ дующей. При этом число расчетных точек, в которых придется вы­ числять градиент функции /, будет близким к минимальному воз­ можному при данном выборе исходной точки (а®, . . .,а°).

Метод наискорейшего спуска и его различные разновидности позволяют находить минимумы сложных функций, зависящих от большого числа аргументов. Однако при очень большом числе аргу­ ментов минимизация функции требует большого объема вычислений. В этих случаях выгоднее пользоваться методом случайного поиска, который требует меньшего объема вычислений при минимизации функций очень большого числа аргументов [70]. Для облегчения и ускорения вычислений при отыскании минимумов функций целе­ сообразно пользоваться специальными вычислительными машинами— так называемыми оптимизаторами.

Г лава 13 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

13.1.Оценка параметра

Рассмотрим задачу оценки одного параметра, наблюдаемого с адди­ тивной помехой, которая представляет собой белый шум с интенсив­ ностью G,v и нулевым математическим ожиданием:

X (t) = U + N (t).

(13.1)

Случайная величина U имеет равномерное распределение на интервале [fr, с]. Определим алгоритм обработки наблюдаемого на интервале [О, Т] сигнала (13.1), оптимального по критерию мини­ мума вероятности превышения модуля ошибки заданной величины

 

P { \ U — U*\ >а} = m in .

(13.2)

Функция потерь для данного критерия

 

 

1 (U,

(0

при | U — U* I ^ а,

(13.3)

U*) = | j

при

> а _

Условный риск

 

 

 

 

 

£/*— а

 

со

 

р (£/*) =

| /* (и | х) du +

J (гг| х) du.

(13.4)

 

— со

 

 

 

Минимум условного риска определим дифференцированием выра­ жения (13.4) по оценке и приравниванием производной к нулю:

- $ г = Р ( и * - а \ х ) - Г ( и * + а\х) = 0.

(13.5)

Отсюда

 

/* (U* — а | х) = /* {U* + a\x).

(13.6)

Вычислим апостериорную плотность вероятности. В соответствии с общей формулой (12.9) имеем

Г (и \х)

h (и ) f { x \ u )

(13.7)

 

J h (и) f (х | и) du

Знаменатель в выражении (13.7) не зависит от гг, поэтому равен­ ство (13.6) эквивалентно следующему соотношению:

h (U* — a)f(x\U* — a) = h(U* + a)f (х\ U* + а), (13.8)

349

Смотрите также файлы