Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

выразим вероятность ошибки системы как функцию входного и

.выходного сигналов системы:

Для определения коэффициента х подставим выражение (12.56). плотности вероятности случайного вектора U в формулу (12.44). Тогда получим

х = [<7 + pQ (X)]-1.

Подставив это выражение в формулу (12.58), получим

Полагая здесь сначала Y = 0, а затем У = 1 и принимая во внимание (12.54), получим следующие выражения для вероятности ошибки системы при двух возможных значениях ее выходного сигнала У:

ее с некоторым порогом можно вычислить любую возрастающую функцию величины Q (X). Это позволяет во многих случаях зна­ чительно упростить оптимальную систему обнаружения. Обозна­

"где 1 (0) — единичная ступенчатая функция, равная единице при положительном аргументе и нулю при отрицательном аргументе.

Формулы (12.60) определяют условную вероятность ошибки при данном входном сигнале и данном выходном сигнале системы.- Однако для оценки качества системы обнаружения эта вероятность дает немного. Обычно принято характеризовать качество системы обнаружения вероятностью пропуска сигнала и вероятностью лож­ ной тревоги.

341

Вероятностью пропуска сигнала называется вероятность того, что система «не заметит» полезный сигнал, присутствующий во, входном сигнале. Вероятностью ложной тревоги называется вероят­ ность того, что система выдаст сообщение о наличии полезного сигна­ ла, когда в действительности он отсутствует во входном сигнале.

Для вычисления вероятности пропуска сигнала и вероятности

Пусть gx (v) — условная плотность вероятности случайной ве­ личины V при наличии полезного сигнала, т. е. при любом отлич­ ном от нуля значении вектора U, a g 0 (v) — условная плотность вероятности случайной величины V при отсутствии полезного сиг­ нала, т. е. при нулевом значении случайного вектора U. Тогда вероятность пропуска сигнала и вероятность ложной тревоги выра­ зятся формулами

в общем случае представляет очень сложную задачу. И лишь в част­ ных случаях, когда входной сигнал представляет собой нормально распределенную случайную функцию и зависимость (12.64) можно линеаризовать, т. е. выразить случайную величину V как результат линейного преобразования входного сигнала X (т), задача приб­ лиженного определения плотностей вероятности gQ(v) и g x (v) ре­ шается сравнительно просто. В этом случае условные распределения случайной величины V при наличии и отсутствии сигнала можно считать приближенно нормальными. Тогда для определения плот­ ностей вероятности g 0 (v) и g x (v) достаточно найти соответствую­ щие условные математические ожидания и дисперсии случайной величины V. Приближенное определение вероятности пропуска сигнала и вероятности ложной тревоги сведется в этом случае к эле­ ментарным вычислениям с применением таблицы функции Лапласа.

В некоторых случаях задача определения вероятности пропуска

342

при линейной зависимости входного сигнала от параметров вели­ чина Q (X) представляет собой функцию выходных сигналов согла­

ности выходных сигналов согласованных фильтров при наличии полезного сигнала, а через k 0 (zlt . . . , zN) — условную плотность вероятности выходных сигналов согласованных фильтров при от­ сутствии полезного сигнала во входном сигнале, получим следую­ щие формулы для вероятности пропуска сигнала и вероятности ложной тревоги:

тревоги и вероятности пропуска сигнала по этим формулам при произвольном N сложно. Практически формулами (12.68) легко пользоваться только при Л/ = 1 и JV = 2 и при нормальном рас­ пределении вектора U. В этом случае при N = 1 вероятность про­ пуска сигнала и вероятность ложной тревоги вычисляют по форму­ лам (12.68) элементарно. При N = 2 для вычисления интегралов в формулах (12.68) можно использовать сетки рассеивания, при­

чески.

Изложенный метод определения оптимальной системы обнару­ жения можно практически применить только в том случае, когда вероятность присутствия полезного сигнала во входном сигнале р известна. Однако в практических задачах она обычно не известна. Поэтому задачу обнаружения обычно решают по критерию услов­ ного минимума вероятности пропуска сигнала при заданной вероят­ ности ложной тревоги. Этот критерий обычно называют критерием

Применяя для нахождения условного минимума обычный метод неопределенных множителей Лагранжа, сведем задачу нахождения

343

оптимальной системы обнаружения по критерию (12.69) к нахожде­ нию безусловного минимума выражения

Р (Y = 0 | Ут = 1) -Ь цР (У = 1| Ут = 0),

где р, — неопределенный множитель Лагранжа. Эта задача равно­ сильна минимизации выражения

р р (у = о | у т= 1) + - ^ (VУ = 1 1П = 0).

Величина pp/q является неопределенной так же, как и у. Обозна­ чив ее X, приведем задачу к нахождению безусловного минимума выражения

рР (У = 0 I Ут = 1) + XqP (Y = 1| Ут= 0),

или

Р (Ут = 1 и У = 0) + ХР (Ут= 0 и Y = 1).

Это выражение, очевидно, представляет собой математическое ожидание функции потерь / (У, Ут), определяемой формулой

Таким образом, и задача определения оптимальной системы обна­ ружения по критерию Неймана—Пирсона сводится к минимизации условного риска М [/(У, УТ)]Х].

Подставив в формулу (12.43) выражение (12.56) плотности веро­ ятности вектора U и выражение (12.70) функции потерь и повто­ рив выкладки, проведенные в начале параграфа, находим условное математическое ожидание функции потерь при данном входном сигнале, которое, однако, в этом случае не равно вероятности ошибки системы:

Отсюда совершенно так же, как и раньше, приходим к выводу, что алгоритм оптимальной системы обнаружения определяется фор­ мулой (12.63), где 0 (г) — произвольная возрастающая функция, а порог с = 0 (qXtp). Но определить порог по этой формуле практи­ чески невозможно, так как он выражается через неизвестную вели­ чину X. Однако в данном случае порог с можно непосредственно определить из условия равенства вероятности ложной тревоги задан­ ной величине а. Для этого достаточно положить во второй формуле (12.65) или (12.68) рл.т — а и решить полученное уравнение отно-

344