где |
|
|
|
|
|
f _ J _ |
при £>-j- a < |
£/* < |
c -|- a, |
(13.9) |
h (U* — a) = •! |
c - b |
при b + a > |
U* > |
c + a, |
l |
o |
|
h (U* + a) = |
|
при b — a < |
U* < c — a, |
(13.10) |
|
при b — a > |
U* > c — a. |
|
|
|
Таким образом, равенство (13.8) является нетривиальным при нахождении величины оценки в интервале b -\- а < U* < с — а В этом случае априорная плотность вероятности в левой и правой частях выражения (13.8) отлична от нуля, постоянна и равна 1/(с—Ь). Сокращая на этот множитель, получаем
|
f { x \ U * - a ) = Hx\U* + a). |
(13.11) |
|
(b -f- а < U* < с — а) |
|
|
Вне этого интервала оценка равна нулю (U* = 0). |
|
Условная |
плотность |
вероятности |
|
|
|
f (х | и) = ехр | j |
g (Т , т) X (т) dx---- 15(и)|, |
(13.12) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
g {Т, a) KN Ф, т) da |
и; |
(13.13) |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
Р (и) = Uj g{T, т) dx. |
|
(13.14) |
|
|
|
о |
|
|
|
Помеха в |
рассматриваемой задаче |
есть |
белый шум, |
поэтому |
Kn (т>ст) — |
(т — а), |
и |
соотношения |
(13.13), (13.14) дают сле |
дующие выражения для весовой функции и функции р (и): |
|
|
г< 7’' т>= |
^ |
1<7' - т); |
|
= |
(13-|5) |
Таким образом, условная плотность |
вероятности |
|
|
f(x\u) = e x p { - ^ H - - ^ } , |
(13.16) |
где
т
Н= \ X (х) dx.
о
Подставляя в выражение (13.16) разность U* — а и сумму U* +
+ а и учитывая, что равенство экспонент |
соответствует равенству |
показателей, получаем |
|
|
( U* + a)2Т |
U* — а |
ту |
(U* — a ) * T _ U * |
+ a |
Gn |
П |
2G,v |
_ |
Gn |
2G,v |
Отсюда имеем
т
U* = тН = -i- J X (т) dr.
о
Учитывая дополнительное условие, записанное в выражении (13.11), окончательно имеем
Введением единичных функций выражение для оценки можно записать в следующей форме:
т
U* = [l (U* - b — а) — 1 (U* — с + a)] -jr JX (т) dr.
О
Таким образом, наилучшей оценкой является среднее значение реализации за время наблюдения при условии, что оценка не выхо дит за интервал [Ь а, с — а]. В противном случае оценка равна нулю.
Рассмотрим получение оптимальной оценки по критерию мини мума среднего квадрата ошибки. В этом случае оптимальная оценка
00
U* = | uf* (и | х) du.
— 00
Подставляя значение апостериорной плотности вероятности
ъ
получаем
Данное выражение можно представить в следующем виде:
С |
(и—т * ) 2 |
— 1 |
С |
|
е |
г |
_ (ц—т * ) 2 |
2D* du |
J ие |
2D* du, |
|
J |
ь |
|
где
т
0
Выполняя интегрирование, получаем
т |
|
(Ъ—m*) |
(с—т*)-’ |
|
2 D* |
е 2 D * |
а* |
|
V 2я |
Ф |
/с — т* |
|
|
\ о* |
|
Первый член в этой формуле соответствует оптимальной оценке параметра по методу наименьших квадратов.
13.2. Оценка фазы гармонического сигнала
Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы выделения фазы гармонического сигнала, наблюдаемого совместно с помехой:
X (/) = г/х sin (<of + U2) + N (0, |
(13.17) |
где Uг — случайная амплитуда сигнала, имеющая плотность веро ятности h x (Ui); U * — случайная фаза, равномерно распределенная в интервале 0—2л; плотность вероятности распределения фазы
1г («*) = ■ |
1 |
при 0 = :и. : 2я, |
(13.18) |
2я |
при 0 >ы.2> |
2я. |
( |
0 |
|
Амплитуда и фаза гармонического сигнала независимы. |
|
Помеха N(() является |
гауссовским белым шумом с нулевым |
средним и интенсивностью GN. Корреляционная функция помехи |
KN (t, |
Г) |
= GN5(t — Г). |
|
(13.19) |
Критерием оптимальности системы выделения фазы выберем минимум вероятности выхода модуля ошибки в определении фазы из заданного интервала:
Р {|(/2— Ul [ > а) = min. |
(13.20) |
Для решения задачи воспользуемся общей формулой условного риска (12.42):
p(Ul) = M{l(U2, Ul)\X\. |
(13.21) |
Для того чтобы условный риск соответствовал условной вероят ности выхода ошибки из заданного интервала, функция потерь должна отвечать следующему выражению:
, |
(О при |
I t/г — t/a| |
а, |
l ( U b U 2) = \ |
I t/г — | > |
(13.22) |
|
^ 1 при |
а. |
В этом случае условный риск
£Л)—а
•(ul) — |
J dux |
J f (ub Uo | x) du., ■ |
|
|
— 0 0 |
— CO |
|
+ I |
dUj_ j |
f* (иъ «о I x) du2, |
(13.23) |
U2+a
где /* (ult uJx) — совместная апостериорная плотность вероятности амплитуды и фазы полезного сигнала:
Г (th, и2\х) = ch (ии и2) exp | j |
g (Г, т) X (т) dx---- р (иъ u2)J; |
|
|
|
|
(13.24) |
с — J |
J |
h(ult иг) х |
|
|
— а з |
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
X exр I I g (Т, т) X (т) dx---- 5- р (ult и2)} |
du2 |
. (13.25) |
lo |
|
j |
|
|
Весовая функция g (Т , х) определяется интегральным уравне нием (12.36), которое в рассматриваемой задаче легко решается. В результате получаем
g (Г, x) = — Ul sin (сот -f и2). |
(13.26) |
Если время наблюдения Т кратно полупериоду гармонического |
сигнала, то в соответствии с формулой (12.45) |
|
Р (“i- “ *) = W • |
(13'27> |
Совместная априорная плотность вероятности амплитуды и фазы вследствие их независимости есть произведение плотностей
/г (мь ц2) = ~ |
/гх(ttj). |
(13.28) |
Подставляя соотношения (13.26), (13.27), (13.28) в формулу апо |
стериорной плотности вероятности, |
получаем, что при 0 ^ |
м2^ 2 я |
Г («х«2 1 х ) = |
|
1гг (Ид) X |
|
( Т |
|
|
и2Т ) |
|
X ехР ПГ 1 sin |
+ |
и^ Х (т) dx — 1 ^ 7 [ ’ |
(13.29) |
а при выходе фазы из интервала |
0 |
— 2 л /* (ид, и2 |дг) = |
0 . |
