Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

где Л' — длоское множество, следует одно из двух: либо Л' = Л, либо Н' = X. Легко проверить, что Л является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда размерность

Лна единицу меньше размерности пространства X. Существует тесная связь между гиперплоскостями и

линейными функционалами. Точнее говоря, множество Л является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда най­

связи с этим, что в пространстве X введена некоторым обра­ зом норма (каким именно — безразлично, ибо в конечно­ мерном пространстве любые две нормы эквивалентны: из сходимости по одной норме следует сходимость по другой, и наоборот).

Отметим, что аффинное многообразие всегда замкнуто; замкнутые (открытые) полупространства являются замк­ нутыми (открытыми) множествами.

Под аффинной оболочкой множества Q СП X понимается «наименьшее» аффинное многообразие, содержащее Q (т. е. пересечение всех аффинных многообразий, содержа­ щих Q). Точка х называется относительно внутренней

точкой множества Q, если пересечение некоторой окрест­ ности этой точки с аффинной оболочкой Q целиком содер­ жится в Q. Относительная внутренность множества Q

(т. е. совокупность всех относительно внутренних точек

Мы можем теперь сформулировать одно из существен­ ных свойств выпуклых множеств, которое заключается в следующем: каково бы ни было выпуклое множество Q в конечномерном пространстве X, оно имеет непустую от­ носительную внутренность (т. е. r i Q -ф <^>) (см. Рокафеллар [3]).

Мощным аппаратом для исследования выпуклых мно­ жеств являются теоремы отделимости. Прежде чем сфор­ мулировать их, введем следующее определение.

Говорят, что гиперплоскость Н разделяет (соответст­ венно, строго разделяет) множества Qt и Q2> если эти мно­ жества лежат в разных замкнутых (соответственно, откры­ тых) полупространствах, определяемых Н.

Используя связь между гиперплоскостями и линейны­ ми функционалами, можно сформулировать это определе­

Тогда найдется гиперплоскость, разделяющая Q1 и Q2 . Как непосредственно следует из определения, выпук­

лые множества, строго разделяемые некоторой гипер­

ность» одной из ветвей гипер­ болы и асимптота этой гиперболы (рис. 1). Следующая ниже

теорема показывает, что при некоторых дополнительных

22 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . X

Прежде чем привести еще одну теорему о строгом раз­ делении, введем одно важное определение. Непустое мно­ жество Q в X называется выпуклым многогранником, если оно может быть представлено в виде пересечения конечного

назовем относительно граничной точкой множества £2,

тых полупространств, определяемых этой гиперплос­ костью. (Если Н = {х | / (х) = с}, где / — лииейный функционал, то высказанное определение означает, что

Теорему 1.4 можно несколько усилить; точнее говоря, опорную гиперплоскость можно выбрать так, чтобы она не содержала аффинной оболочки множества Q. Сформу­ лируем это утверждение в аналитической форме.

Т е о р е м а 1.4'. Пусть х — относительно граничная точка выпуклого множества Q. Тогда существует линейный

Доказательства теорем 1.1—1.4' содержатся, например,

вработах Карлина [1]. Рокафеллара [3J.

3.Алгебраические операции над выпуклыми множест­ вами. Совокупность всех выпуклых подмножеств рас­ сматриваемого конечномерного пространства X обозначим через П ь (X). В множестве П(, {X) можно естественным об­ разом ввести операции сложения и умножения на вещест-

венное число (так называемые операции Минковского). Если Qx , Q 2 £ Е П ь {X), то суммой множеств Qj. и Q, назы­ вают множество

нейшем обозначается вещественная прямая), то, по опре­

Нетрудно проверить, что сумма выпуклых множеств и произведение выпуклого множества на число выпуклы. Отметим еще, что сумма ограниченных множеств ограни­ чена, сумма компактных множеств компактна, однако сум­ ма замкнутых множеств, вообще говоря, не замкнута.

Заметим, что конус является выпуклым тогда и только тогда, когда он с каждой парой своих элементов содержит и их сумму.

Пусть К — выпуклый конус в пространстве X. Конус К*, сопряженный в К, определяется как совокупность всех линейных функционалов, принимающих на К лишь неотрицательные значения. В дальнейшем пространство, сопряженное к X (т. е. совокупность всех линейных на X

24 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . I

Это простое замечание позволяет несколько уточнить теоремы отделимости для случая конуса. Именно, если в теоремах 1.1—1.3 одно из множеств Q2 является ко­ нусом, то гиперплоскость, существование которой эти тео­ ремы утверждают, можно выбрать так, чтобы она прохо­ дила через нуль. В частности, гиперплоскость, опорная к выпуклому конусу в его граничной точке, всегда проходит через нуль.

Так как К* является выпуклым конусом, то имеет смысл говорить о конусе К**, сопряженном к К*. Ис­ пользуя теоремы отделимости, нетрудно проверить, что К** совпадает с замыканием конуса К (при этом, разу­ меется, используется ю обстоятельство, что пространство X**. сопряженное к X*. совпадает с X).

Выпуклый замкнутый конус К в пространстве X на­ зывается выступающим, если из соотношений х, — х 6Е К следует, что х = 0; конус К называется воспроизводящим, если К — К = X. Введенные понятия взаимно двойствен­ ны; иными словами, если К — воспроизводящий конус, то К* — выступающий, если К — выступающий конус, то К* — воспроизводящий.

Из определения непосредственно следует, что К — вос­ производящий конус тогда и только тогда, когда его аффин­ ная (или, что в данном случае то же самое, линейная) обо­ лочка совпадает со всем X. Из сказанного вытекает, что воспроизводящий конус телесен (т. е. содержит внутрен­ ние точки). Ясно, что и наоборот, телесный конус явля­ ется воспроизводящим.

5.Отношение предпорядка, порожденное конусом.