Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

М А Г И С Т Р А Л И

311

Предполагаем в дальнейшем, что \i <

%0. Пусть про­

цесс (Ж, у) ЕЕ & таков, что \iT <^ у. Положим? = у — \хх.

Вектор С ЕЕ Cz при любом z ЕЕ X .

 

 

Обозначим через б положительное

число, обладающее

 

п

 

 

тем свойством, что из неравенства 2 с

' < ^ следует

нера-

 

i = l

 

 

венство

(здесь с > 0). Такое б найдется, ибо б ^ > 0.

Так как и — возрастающая функция, то решение

задачи

21.2' при любом z достигается на векторе с (z), который не

меньше, чем S. Стало

быть, при любом z выполняется

п

 

 

 

с (z) ЕЕ {с ЕЕ R+12

с* >

б} . Пусть элементы % и у таковы,

что (Ж, у) ЕЕ

с (z) <

у,

с (z) = г/ — [хЖ + (ц. — 1) z.

Справедливо неравенство 2

У1 ^ 6. Отметим теперь, что

по данному б найдется такое е ^> 0, что для любого процес­ са (х, у) ЕЕ £2, удовлетворяющего условию 2z/' > 6, выпол­ няется неравенство Их1 ^> е. (Это легко следует из замкну­ тости Q и условия (0, у) ф. Q при у =j= 0.) При этом можно

считать, что е < 6.

п

Положим X (е) = {х ЕЕ X | 2 я* > в}. Мы показали, i = i

что при любом z ЕЕ X (и, в частности,

z ЕЕ X (е)) вектор

Ж удовлетворяет неравенству Еж* ^> е.

Нам будет удобно

несколько видоизменить задачу

с тем, чтобы ж ЕЕ X (е).

Для

этого наряду с задачей 21.2 рассмотрим следую­

щую задачу выпуклого программирования,

отличающуюся

от 21.2

только

наличием дополнительного

условия х ^ у

для (х,

у) ЕЕ £2.

 

 

 

З а д а ч а

21.3. Найти max 7 герм условии (Ь, у) ЕЕ 2,

где Z есть замыкание множества

 

 

{ Z E E ^ +

4 Z = ^

- 1

, ^ - Z , T ) ,

(*,sr)e=Q,

0 < т < и ( с ) ,

0<сг£Сг/,

X > o J ,

.»-(-Чт-*И-

Эта задача эквивалентна следующей.

312

М О Д Е Л И

Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ГЛ . VI

 

З а д а ч а

21.3'. Найти

 

 

 

max и (с),

 

 

 

е<= с2

 

где

Сz = {с ЕЕ R+ | с = у — \ах +

(и. — 1) г, (я, jy) ЕЕ

(u. — 1) U.-1ZS£C;E ^ у}. (Условия

с ^у и (ц. — 1) u . - 1 z

эквивалентны.)

Решение задачи 21.3 при z ЕЕ X существует по тем же соображениям, что и в случае задачи 21.2. Это решение определяется векторами (х, у) и с. Обозначим множество векторов х, входящих в решение задачи 21.3 при данном z,

через Г (z).

Поскольку среди

ограничений задачи 21.3

присутствует

и неравенство

х ^ у ((ж, у) ЕЕ Q), то

Г (z) CZ X при любом z ЕЕ X.

Более того, поскольку векто­

ры (г, у) и с таковы, что х ^

ц.!г < ^ у, то, рассуждая, как и

выше,

получим, что Г (z) CZ X (е) для z ЕЕ X (е).

Таким образом, определено точечно-множественное

отображение

Г, переводящее множество X (е) в себя.

Л е м м а

21 . 1 . Отображение Г обладает следующими

свойствами:

 

 

 

1)

Г

(z) непусто

и выпукло для любого z E E X (е),

2)

Г

полунепрерывно сверху на множестве X (е).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

C2={c>{l

— [i)z\c=y

— [хя,

(х, у) E E Q , (Ц — l)p . _ 1 z<a ; < i / } .

Множество Сг выпукло, компактно, непусто. Для данного

z ЕЕ X (е)

задачу

21.3' можно переписать

в

следующем

виде.

 

 

_

 

 

Найти шах и (с) при условии, что с ЕЕ Cz~\- (u- — 1) z.

Пусть

С (z) =

{ c E E C z +

((.i— 1) z| i£ (с) =

max u(c)}.

Так как функция и вогнута,

а множество

Cz+

(р — 1) z

является выпуклым компактом, то множество С (z) выпук­ ло и непусто. Кроме того, точечно-множественное отоб­

ражение z - >

С (z) полунепрерывно сверху.

Заметим теперь, что для z ЕЕ X (е)

 

T(z) = {x&W\x

= ^

+ { ± - l ) z ,

(х,у)€=

 

 

E E Q , 0 < с < г / ,

х < ? / , с ЕЕ С (г)} .

Утверждение леммы следует из написанной формулы.

 

 

М А Г И С Т Р А Л И

 

 

313

Т е о р е м а

21.2. Пусть

модель (О,, и)

такова,

что

1 <С р, <^ Х0 и и

(с)

= 0, если с* =

О хотя

бы для одного

i. Тогда магистраль

существует.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

(а)

Согласно

лемме

21.1

точечно-множественное отображение Г: ж -»- Г (х) удовлет­ воряет условиям теоремы Какутани о неподвижной точке.

Обозначим неподвижную точку через $, т.

е. ж ЕЕ

Г

( я ) .

Решение задачи 21.3 при

векторе

Ъ = (—

1, (Vp —

1) S)

обозначим

через

(ж, Г),

с.

Для

с выполнено

неравен­

ство

с^>0,

ибо в противном случае, согласно услови­

ям теоремы,

относительно функции и

справедливо

ра­

венство и

(с)

=

0.

С другой

стороны, поскольку

сущест­

вует

вектор

(£,

у) ЕЕ £1 такой, что

%0х <

j? i

^0

>

ц,

то

$ ~ с

^

 

( —

 

l \ s

и

и (?) "> 0,

что

противоречит

[X

 

^

\ Iх

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оптимальности значения функции и в точке с.

Покажем, что решение (Ж, f ) , с задачи 21.3 при огра­ ничениях ( — 1 , [—• — 1 j S) является решением также и за­ дачи 21.2 при тех же самых ограничениях. Обозначим функционал, соответствующий, согласно теореме о харак­ теристике задачи выпуклого программирования, реше­

нию (г, у),

с, через р

=

(v, р,

1) ЕЕ

(Д++ 2 ) *. Имеем

p(z)^.0

для

всех *) z ЕЕ

Z

и р ((—

1, (-^—

 

и (с))) =

0. Сле­

дует

установить,

что

р (z)

0

для

всех

Z E 2 ,

а

не

только для

z ЕЕ Z. Для

этого достаточно показать, что

 

Р ( п г 1

-

 

+

и (с) > р (^ - с

-

х)

+

и (с)

(21.6)

для

всех

(х, у)

ЕЕ Q.

Из

соотношения

р

(z)

0

при

z ЕЕ Z следует выполнение неравенства

(21.6) только

при

дополнительном

условии,

что х ^

у.

Если

бы

соотноше­

ние (21.6) не выполнялось для всех (х, у)

ЕЕ

Q,

это означа­

ло бы, что для любого е >

0 нашелся бы вектор (ж, у) ЕЕ

й,

для

которого

|| (£,

'£)

—

(Ж, j ' ) | | < e

и

 

 

 

*

 

 

 

р

 

-

г) + «(5)

<

р ( Ь ^

 

х) +

и (с).

(21.7)

*)

Напомним, что Z и /2 — конусы, фигурирующие в задачах

21,2 и

21,3 соответственно.

314 М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ Г Л . V I

Но поскольку при достаточно малом е неравенство х ^

у

не

нарушается,

так как

j ' (с^> 0), то

нера

(21.7) не может иметь место. Таким образом, мы получили,

что р (z)

0 для всех

z Е Е Z. Последнее означает по тео­

реме о характеристике задачи выпуклого программирова­

ния, что

(Ж, I),

с является

решением задачи 21.2.

 

 

(б) Построим с помощью этого решения (Я, [ ) , с траек­

торию (Ж,, с,) модели (Q, и ) ,

положив Ж, = Я, с, =

с для всех

if.

Последовательность

(3,,

с,) действительно

является

траекторией, так как

из включения Ж Е Е Г (ж)

вытекает

следовательно, у — с = Ж.

Покажем теперь, что стационарная траектория (ж,, с,) [/-оптимальна. С помощью функционала р построим после­ довательность (pt) характеристических цен для траекто-

рии (xt, ct). А именно, положим р{ = ^ - д л я всех t. Эта

последовательность

действительно

характеристическая,

т.

е.

выполнено

соотношение

(20.6).

Неравенство

Pt

{У — с)

+ и

(с)/р(

— рН1

(ж) >

pt

(у —

с)

+ и

(с)/р< —

— р ( _ х

(х)

для

всех

t и всех (х, у)

Е Е

Й,

0 < ! с ^

у

непо­

средственно следует

из соотношения

р (z) ^

0 для

всех

z Е Е Z. Далее, поскольку

u. >

1, то l i m pt

(ж,) =

0. Следо­

вательно,

по

теореме

20.3

траектория

(ж,, с,)

является

[/-оптимальной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 22. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ

РАВНОВЕСИЕ НА БЕСКОНЕЧНОМ

ВРЕМЕННОМ И Н Т Е Р В А Л Е И 17-ОПТИМАЛЬНЫЕ

Т Р А Е К Т О Р И И

 

1.

Введение. В

этом

параграфе

рассматривается мо­

дель конкурентного экономического равновесия на беско­ нечном временном интервале. Вводится понятие равнове­ сия для данной модели и доказывается соответствующая теорема существования.

В заключение доказывается теорема эквивалентности между некоторыми состояниями равновесия и [/-опти­ мальными траекториями, которая аналогична теореме 19.1. Роль модели Эрроу — Дебре здесь играет модель равновесия на бесконечном временном интервале, а роль соответствующей задачи выпуклого программирования — задача о нахождении [/-оптимальной траектории. Таким

5 22] РАВНОВЕСИЕ И и-ОПТИМАЛЬНЫЙ ТРАЕКТОРИИ 313

образом, результаты настоящего параграфа можно рас­ сматривать как распространение результатов §§ 18, 19 на случай бесконечного временного интервала.

Существенное отличие от случая с конечным времен­ ным интервалом состоит в том, что в общей ситуации со­ стояние равновесия порождает только эффективную тра­ екторию, но не обязательно (7-оптимальную. Мы указыва­ ем лишь некоторые достаточные условия для того, чтобы состояние равновесия порождало [/-оптимальную траек­ торию. Формулировка необходимых и достаточных усло­ вий является нерешенной проблемой.

2. Модель Ж"о,. В этом пункте обобщается модель кон­ курентного равновесия Эрроу — Дебре, описанная в § 18, на случай бесконечного временного интервала, причем при построении этой модели используется информация, зада­ ющая модель (93?, V) (см. § 20). В дальнейшем будем обо­ значать описываемую модель через М^. Содержательно модель Мао можно описать так: имеется один производи­ тель, множество производственных возможностей которого есть С (х0), где С (х0) определено в § 20 (х0 — некоторая фиксированная точка из i?+). Потребителей в модели счетное множество (каждому единичному временному интервалу отвечает свой потребитель). Как и в модели Эрроу — Дебре, производитель старается максимизиро­ вать прибыль, а потребитель с номером t стремится к мак­

симуму функции

полезности щ.

Кроме модели (3R, U)

за­

дана также последовательность

0 =

(9,)

распределения

прибылей, где 0 t

указывает долю прибыли производителя,

которая поступает в распоряжение потребителя t

(здесь

6, >

0,

29, = 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Состоянием равновесия модели М№

называется последо­

вательность (ж,, с,, р)Т=о

(где г, Е Е R+,

с,

ЕЕ

R+, Pi £Е (Rl)

*),

удовлетворяющая условиям (для всех t):

 

 

 

 

 

 

(Ж,,

5;,+ 1

+ С ( + А ) Е Е Й „

 

 

(22.1)

 

Pt+i

( f m ) — Pt (г,) =

max

(рЫ1

(у)

— pt (х)),

(22.2)

где

i't+1

= S M 1 +

с,+ 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, (с,) =

 

max

 

и,

(с)

 

(22.3)

Pt ( с ) < 9 ( Pt

Щ)

Смотрите также файлы