Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 221
Скачиваний: 0
С помощью (20.12) |
из (13.2) получаем |
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
(20.15) |
|
|
?к,п +т |
j= n + m — к |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
(& = 0, |
1, ... , |
п + |
т — 1). |
|
При найденных коэффициентах |
ук |
и ук; система дифференци |
||||
альных |
уравнений |
(13.1) |
для вероятностей Рк (^) |
(^ = 0, 1, ... |
||
... , п + |
т) нахождения в |
различных |
состояниях |
смешанной си |
||
стемы массового обслуживания с групповым поступлением требо ваний со случайным составом записывается в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Р 'ъ ( t ) = |
- |
(X + k ^ ) Рк ( t ) + ( k + 1) Р : Рк+1 ( t ) + |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ K 2 |
r k - j P j (? ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{k — 0, |
1, . . |
. , |
n — 1); |
|
|
|
|||||||
|
|
P 'n+S { t) |
— |
— |
(X |
+ n V-i + |
|
s v ) |
P n + s |
|
{ t) + |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + s — 1 |
|
(20.16) |
||
+ |
ln\xi + (s + |
1)v] p n+s+i (t) + |
x |
2 |
^*n+s—j Pi (t) |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-o |
|
|
|
|
|
|
|
(s = |
|
0, |
1, |
• • |
• , |
m — 1); |
|
|
|
||||
|
|
P 'n + m ( 0 |
= |
— |
( « P i + |
ш |
) p n+m ( t) |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
n+m—1 / |
l |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
x |
|
2 |
( |
2 |
|
ri |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
j= 8 |
\ i — n + m— j |
|
|
|
|
I |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
m ax (0; |
n-\- m — l). |
(20.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если |
при |
t = |
0 |
система |
находится в состоянии Со, то начальные |
|||||||||||
условия для (20.16) следящие: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Р0( 0 ) = 1 ; |
Рк ( 0 ) = 0 |
|
( k = l |
, |
2 , . . . , n + m ) . |
(20.18) |
||||||||
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (20.16) производится общими методами, применяемыми к систе мам однородных уравнений с постоянными коэффициентами. В не которых случаях решение данной системы приводится к последо вательному решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Иногда удается свести решение системы (20.16) уравнений относительно функций Pk(/) (k = 0, 1, ... , п + /н), связанных равенством
n+m
2 P k ( f ) = l , |
(20.19) |
k= 0 |
|
10 |
145 |
к решению дифференциального уравнения в частных производных относительно производящей функции:
|
|
П+Ш |
|
|
|
0(и; 0 = |
2 |
ukPk(t). |
( 20.20) |
|
|
k=0 |
|
|
В качестве примера рассмотрим систему массового обслужива |
||||
ния без очереди, т. е. при т = |
0, |
в которую |
требования поступают |
|
по I в каждой группе, причем |
/ |
п. При |
этом rt= 1, а потому |
|
система дифференциальных уравнений. (20.16) принимает вид: |
||||
Рк(t) — (X+ |
йрД Рк (t) -f- (k -)- 1) \1ХРk+1 (t) |
|||
{k — 0, |
1..............n - 1 ) ; |
( 20. 21) |
||
|
|
|
|
|
P'a(t) = ~ n v -1Л , ( 0 + ь 2 ^ , ( 0 .
j=o
С учетом (20.19) последнее уравнение данной системы переписы вается следующим образом:
^ ;(* ) = - ( Ь + Л|*1)Л.(*) + Ь. |
(20-22) |
Данное уравнение не зависит от остальных п урайненпй системы
(20.21), |
и потому для вероятности Рп (t) из |
(20.22) можно полу |
|||||||||
чить аналитическое выражение, которое |
записывается в виде |
||||||||||
|
|
|
Pn(t) |
------------ . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А. —[~ |
|
|
|
|
|
||
Так как ^ п(0) = |
0, |
то |
произвольная постоянная |
С |
— X |
||||||
X-)- |
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
Pn{t) = |
n + |
at |
(1 — g-^+niiJt |
)} |
|
(20.23) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а, = |
• |
|
|
|
(20.24) |
|
|
|
|
|
|
|
1*1 |
|
|
|
|
|
Зная |
Pn{t), |
с |
помощью |
уравнений |
(20.21) |
последовательно |
|||||
можно |
определить |
функции |
P ^ it), |
Pn_ 2 |
(t), |
... , Po(t). При |
|||||
этом используются |
следующие рекуррентные |
формулы: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Рк (t) = |
(к + |
1) Hi j |
|
рк+1 (?) & |
|
(20.25) |
||||
|
(й = 1. 2, ..., |
n—1); |
PoV)- |
3—Xt |
(20.26) |
|
146
Решены® системы уравнений (20.21) можно свести также к ре шению дифференциального уравнения в частных производных от носительно производящей функции (20.20) при т = 0. Для этого нужно k-e уравнение из (20.21) умножить на ик и просуммировать результат по k от 0 до п. Тогда получим
2 « к Рк (t) = - |
S (к + |
къ ) акРк (t) |
+ |
к = 0 |
к = 0 |
|
|
+ 2 (к + |
1) рЛ + |
х{t) + Хв". |
(20.27) |
к=0 |
|
|
|
С учетом выражения (20.20) последнее равенство можно перепи сать в виде
dG (dt t] |
+ |
Pi (ц - |
В |
d° t i |
t} |
= М «п - |
о (и; |
t)\. |
(20.28) |
||
Полученное дифференциальное уравнение в частных производ |
|||||||||||
ных совпадает |
с |
уравнением (9.22) |
при z = G; |
х |
t\ |
у = |
и; |
||||
f = yx(u — 1); g = . i ( u n— G). Требуется найти решение z — % (х, |
у), |
||||||||||
т. е. С — G(h; t), |
такое, что G(H; 0) |
Ро(0) = |
1. Уравнения |
(9.24) |
|||||||
в данном случае следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
35Г = |
М и — 1); |
• |
|
|
|
(20.29) |
|||
|
|
— = l ( a n - G ) . |
|
|
|
|
(20.30) |
||||
Проходящая через точку с координатами t = 0 и и = |
т) |
интеграль |
|||||||||
ная кривая для уравнения |
(20.29) |
записывается в виде |
|
|
|
||||||
|
|
b = |
1 + ( tj — 1)еМ |
|
|
|
(20.31) |
||||
Подставляя это выражение в (20.30), получаем |
|
|
|
|
|
||||||
^ |
|
+ XG = |
X[l + (4 - l ) e M ] n- |
|
|
|
(20.32) |
||||
Решение этого уравнения
G(a; 0 = e~xt[c + X j^ [1 -f f a - 1) e^]adx j.
Так как G(«; 0) = 1, то |
С = 1 . Заменяя в подынтегральном выра |
жении согласно (20.31) |
разность ц — 1 на (и — i)e~^x, приходим |
к следующему выражению для искомой производящей функции: |
|
t |
(20.33) |
G (и; t) = e~xt + X j' g-Mt-ц [i -f (ц - l)e-Mt-P]"flf-. |
|
о
147
Положим t — т = £. Тогда после возведения бинома в степень получим
П |
t |
|
G(u; t) = e~Xi + X У C„ ak Г e-tM-аде ( l _ e-*£ )n- k d\. |
(20.34) |
|
k-0 0 |
Коэффициент при ик в последнем разложении согласно (20.20) совпадает с вероятностью Л<(0 (& = 0, 1, ... , п ). Следовательно,
Рй{Ь) = е-к + ^ { - \ у с 1 |
|
|
|
(20.35) |
|
s=0 |
|
|
1 |
v |
|
п — к |
|
|
|
|
|
PAt) = Cl 2 ) ( ~ D ^n-k - - ц г -!- г а,- [1 - |
(20.36) |
||||
s=0 |
1 |
Г |
|
~Г |
|
|
(k = |
i, |
2, |
. .. , п). |
|
Дифференцируя производящую |
функцию (20.33) |
по и и пола |
|||
гая и = 1, находим |
|
|
|
|
|
<JG(u; |
t) |
= |
Ы Г e~0-+^dl |
(20.37) |
|
да |
|
||||
u=i |
|
J |
|
||
Так как эта производная совпадает с математическим ожиданием
y(t) числа приборов, занятых обслуживанием требований в мо мент t, то
у {t) — — |
- [1 — |
(20.38) |
w <Xi -(—1 |
1 |
|
Аналогично с помощью производящей функции могут быть оп ределены и другие вероятностные характеристики данной системы массового обслуживания.
В качестве другого примера рассмотрим систему массового об служивания с неограниченным числом приборов при групповом поступлении требований со случайным составом. Система диффе ренциальных уравнений (20.16) в этом случае имеет вид:
P'0(t) = - l P o ( t ) + \HPx(ty,
Р'ъ (0 = ~ (* + k\h) Рк (t) + (k + 1) ^ Р к-н (t) +
(20.39)
+rjPk—j (t)
(* = 1, 2 ,. . .)•
148
Умножив обе части k-m уравнения на ик и просуммировав ре зультат по k от 0 до °о, приходим к равенству
|
V |
и*рк |
= |
|
и*Рк (t) - р, У, ки*Рк(0 + |
|
||||
|
к=0 |
|
|
|
к=0 |
|
к=1 |
|
|
|
|
+ |
pi S |
(k + |
1) « кРк+1 (t) + x 2 |
« к 2 |
пРкЧ {t). |
(20.40) |
|||
|
|
|
'■k=0" |
|
|
|
k = l |
j = l |
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
« к2 / - / н ( « |
2 |
usP*(t) |
2 |
rp) |
|
|||
Положим |
k - l |
j = l |
|
|
s=0 |
|
j=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К («) = |
S rpK |
|
|
(20.41) |
||
|
|
|
|
|
|
j-i |
|
|
|
|
Тогда равенство |
(20.40) |
можно представить в виде |
|
|||||||
дО (и; t) |
+ |
Pi (м — 1) |
dG{u\ |
t) = |
л [/?, (и) — 1] О (и; t). |
(20.42) |
||||
dt |
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
Данное уравнение отличается от (20.28) только тем, что в его пра вой части и" — G заменено на [/?г (и)— 1]G. Поэтому уравнение (20.29) и выражение (20.31) остаются без изменений, а вместо (20.30) получаем
^ = Ч Я / ( и ) - 1 ] 0 . |
(20.43) |
||
Представим многочлен (20.41) |
в виде |
|
|
Rt{a) = |
2 |
q ,( u - l)s, |
(20.44) |
|
s=0 |
|
|
где |
|
|
|
J |
|
|
(20.45) |
s! # ! S )( K ) | u = l |
( 5 |
= 1 , 2 , . . . , / ) , |
|
причем cfo — l. С учетом (20,31) находим |
|
||
#/(«)- 1= 2 <7s(M— 0s —2?e(4- l)ses4 |
||
S«1 |
|
S=1 |
поэтому уравнение (20.43) |
можно представить в виде |
|
d In G(u; |
t) _ |
, |
dt |
~~ |
( T i - l |
S = 1 |
||
149