Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

— математическое ожидание

числа приборов, занятых обслу­

живанием требований,

У = «1 (1 — Рп.з) + пР0Ч;

(19.16)

— коэффициент загрузки приборов

£заг =

-£ -

(19.17)

Математические ожидания tB.3

и ta.з времени

Тн.3 неполной за­

1

(19.18)

tн.з —

W 1

Т

^ п .з

7ц.з— ta:.

1 — Рп.з

(19.19)

z= 2 s/,n+s=: 1г(1—^~Рп+т) ■

(19-21)

Математическое ожидание числа требований в системе

дг= y-\-z.

(19.22)

*а.г =

—

+ Л « * о ч -

(19-26)

P'1

Математическое ожидание времени простоя прибора

*п9 = ( у ------lU a r.

(19.27)

\

"'з а г

)

мощью равенства

Рп.обсл

УР

У_

(19.28)

X

а

вания согласно (12.26) равна

Рчаст —

У 1 = уЬ

(19.29)

X

а1

Вероятность отказа в обслуживании

Р0„= Р п +т+ ^ - =

1

- f -

(19.30L

Л

С(j

если число приборов обслуживания п = 2, количество мест

ожида­

ния

т —1, интенсивность

простейшего

потока требований

X= 2,

а ц =

v =

Y =

1.

исходные данные, находим:

pi =

р +

Р е ш е н и е .

Используя

+ Y = 2;

<х1=

X

v

Для вероятности

Ро

того,

— = 1 ; Pj= — = 0,5.

P i

P i

Рз== &

= 0 ’074-

Вероятность полной загрузки

системы Ра.3 = Рг + Рз = 0,259.

Вероятность наличия

очереди

Роч=

р3 = 0,074.

Математическое

ожидание

числа приборов, занятых

обслуживанием требований,

у — 1 — 0,259 + 2 •0,074 = 0,889.

Коэффициент загрузки приборов

^ з а г - ^ - =

0,444.

Воспользовавшись

формулой

(19.20), находим

р\ = 0,2. Мате­

гласно

(19.18) равно ^н.з —•1,

а математическое ожидание времени

их полной загрузки

—

0 259

tn,3=

q

— 0,35.

Математическое ожидание числа требований, ожидающих на­

чала

обслуживания,

г = р3 =

0,074. Математическое ожидание

-

Роч

= 0,2. Математическое ожидание

времени непрерывной

^оч =

занятости

прибора ^заг = 0,5-(-0,074 •0,2 =

0,515.

Математическое

ожидание времени простоя прибора tnp =

— 1J •0,515 = 0,645.

Вероятность полного обслуживания требования

Вп.0бсл'— - у =

нии Ро т к = Р з +

- у -

= 1 — — =0,111.

л

ос^

§

2 0 . С М Е Ш А Н Н А Я С И С Т Е М А

П Р И

Г Р У П П О В О М П О С Т У П Л Е Н И И Т Р Е Б О В А Н И Й

ность того,

что группа содержит j требований, равна г}, причем

2 о = 1 .

(20.1)

]=1

В частном

случае, когда

г, = 1,

все группы содержат

по I требо­

ваний.

Для удобства дальнейшего изложения примем, что

это можно сделать, полагая в противном случае

ri = 0

при

/ < / < «

- { - яг.

(20.2)

Как и в любой системе массового обслуживания, в смешанной

системе любой освободившийся

прибор

немедленно

приступает

одновременно

в системе может быть

не более п + т требований.

Время Ту.

обслуживания катедого

требования является случай­

это требование покидает систему,

оставшись

недообслуженным.

При этом Гт — случайная величина,

имеющая

показательное рас­

пределение с параметром т.

имеется k

требований

(k == 0, 1, .. ., п-\-пг).

Чтобы получить си­

стему

дифференциальных уравнений для

вероятностей Рк (t)

(k = 0,

1,

.. ., п -(- m)

нахождения системы в

момент t в указан­

(13.1). Коэффициенты тк и Ты этих уравнений определяются,

как

и для рассмотренных выше систем массового обслуживания.

что

По аналогии с (19.1)

для вероятности

P^(t,

t -f- At)

того,

за время At система не

сменит состояние Ск

(k = 0,

1, . ..,

п),

имеем

Рук(t, t + M ) = g-(*+^fkT)M +

о (д^).

(20.3)

Поэтому

T k = H ^ i

(£ = 0, 1 , . . . , » ) ,

(20.4)

Mr = И- +

Y.

(20.5)

Таким же способом получаем:

Tn+S= X +

+ sv ( s = l ,

2 , . . . , ffi

1);

(20.6)

Tn+m=«f1l +

^ -

(20-7)

При k-^n переход из состояния

Ck в Ck_ t

за малое время At

ний.

Поэтому

Tk,k—1 = kp “Ь &Т =

(Л = 1, 2,

..., п).

(20.8)

Если

в

системе п +

s требований, то

переход из состояния

Cn+S

в Cn+S_!

возможен

также вследствие

ухода из

очереди любого из

s требований. Следовательно,

Tn+s.n+s-1 = «Pi + SV

(s =

1, 2, . .. ,

т) .

(20.9)

исхода определяется формулой (13.4) при / = 1 и потому

равна

М£ + 0(Д£). Если группа содержит у

требований, то из исходного

состояния

Ск система

переходит

в

состояние C’kH_J при k -{- у <

< п + т и в состояние

С„+т при k +

у > п +

т. Вероятность того,

что в группе имеется у требований, равна rj.

Поэтому при & + / <

< п + т

Pk.k+j (t, t +

M) = r+M + 0 (д*),

(20.11)

а при k -f- у

п -ф m

.

i

Рки+mit, t + M ) =

U t

2 П + 0 ( Д 0 .

(20.12)

j=n+m—к

Подставляя (20.11) в (13.2), находим

Тк.к+j =

г\

(20.13)

(/ = 1, 2, . .. , я + т - Л - 1 ;

Л = 0, 1, . .. , п + т - 2)

или, что то же самое,

Ты —

(20. 14)

(У‘ = Л + 1 , Л + 2 , . ... я +

т - 1

;

Л= 0,

1, . . . , л + т - 2

) .