Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 218
Скачиваний: 0
Воспользовавшись таблицей для вероятностей распределения Пуас сона, находим
|
|
|
|
1 — Z |
ТТе~* = |
0,40745. |
|
|||
|
|
|
|
|
i£o kl |
|
|
|
|
|
Согласно формуле Стирлинга |
|
|
|
|
||||||
N1 = / 2 WV N"e~N (1 -I-----!-------1 |
|
*_____ и |
^ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
127V ^ |
288 А^2 ^ |
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8! 8 - V = 4 |
|
( н - 1 |
+ 2 ^ 6 4 |
+ ■ ■ • ) = 7-16405- |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
7,16405 •0,40745 = 2,91902. |
|
|||
|
S = 1 |
П ( я + / р ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись (18.1), |
находим |
|
|
|
|
|||||
Ро = |
1 + |
4 + |
8 + -д— I |
д" 2,91902 |
= |
0,01527 ^ |
0,0153. |
|||
Согласно |
(18.2) |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Pi = |
4p0 = |
0,0611; р2 = |
8/?0 = |
0,1222; |
|
|||
|
|
|
|
Рз = |
|
32 |
0,1629. |
|
|
|
|
|
|
|
р4 = — р0 = |
|
|
||||
Вероятность полной загрузки приборов обслуживания |
|
|||||||||
|
Рп.з = |
1 — (Ро |
Pi Ч- Рг |
Рз) == 0,6385. |
|
|||||
Вероятность наличия |
очереди Роч = Р„.3 — р„ = 0,4756. |
Математи |
||||||||
ческое ожидание числа самолетов-дозаправщиков, занятых доза правкой, согласно (18.9)
У= 4( 1 - |
/?4) = 4 •0,8371 = 3,3484 « |
3,35. |
Коэффициент загрузки, т. е. вероятность того, |
что самолет-доза- |
|
правщнк занят, k3ar = |
~ =0,8371. Вероятность |
того, что самолет |
будет дозаправлен, |
|
|
Робел = £ = 0,8371.
135
Согласно (16.16) находим Р*\ = 0,3107. Тогда математическое ожидание времени неполной загрузки самолетов-дозаправщиков
1 |
= 5,55 мин. |
^н.з — 2,5 0,3107 |
|
|
О |
Математическое ожидание времени полной загрузки самолетов-до- заправщиков
^П.З — 7 |
3 |
— 5 55 |
— 9 80 |
мин |
1 - |
Я п .з |
“ 5,55 0,3615 — 9,80 |
|
|
Так как очередь не ограничена, то математическое ожидание числа самолетов, ожидающих дозаправки,
z = |
± |
(1 - |
1-\ = 8 (1 - |
|
0,8371) ж 1,30. |
||
|
Р |
V |
|
а |
/ |
|
|
Математическое |
ожидание времени начала дозаправки |
||||||
|
|
7 |
— — — 3,25 |
мин. |
|||
|
|
* 'О Ж — |
^ |
1 |
|
|
|
Математическое ожидание числа самолетов в данной системе |
|||||||
|
х = у + |
z = |
3,35 + |
1,30 = 4,65. |
|||
Математическое |
ожидание |
времени |
пребывания самолета в этой |
||||
_ |
= |
11,62 мин. |
|
|
|
||
системе tc — у |
|
|
|
||||
Математическое ожидание времени наличия очереди |
|||||||
J. |
Рп„ |
|
|
0,4756 |
|
|
|
_ ' ОЧ |
|
0,4-0,1629 |
= 7,30 мин. |
||||
*•04 |
— \ „ п |
|
|||||
Математическое ожидание времени непрерывной занятости само- лета-дозаправщика
7заг = 10 + 0,4756 •7,30 = 13,47 мин.
Математическое ожидание времени простоя
^ р = ( ( Щ 7 Г — ! ) 13’4 7 - 2 ’62
Пример 18.2. По данным примера 18.1 определить характери стики установившегося режима функционирования системы, если ожидать начала заправки может только один самолет.
Р е ше ни е . В данном |
случае |
т — 1, поэтому согласно (18.1) |
Ро— ^l + 4 + |
8 + g- + |
3Т 45 j = 0,0 2 2 8 . |
136
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi = 0,0913; |
р2 = 0,1826; |
|
р3 = |
р4= |
0,2434; |
р5 = 0,2164. |
||
По этим вероятностям находим: |
|
|
|
|
||||
Я п .з = |
P |
i + р5= 0,4598; |
Я оч = |
Д5 = 0,2164; |
||||
У = 4(1 — |
|
—3,03; |
£заг= 0,7566; 7>обсл = 0,7566; |
|||||
tB.a— 5,55 мин; |
tn.3=-A,72 |
мин; |
z =р-0 = 0,2164 ^0,22; |
|||||
t0M= 0,54 мин; |
х = |
у + |
z ^ 3,25; |
tc = -у = |
8,12 мин; |
|||
? о ч = г £:!- = 2,22 мин; |
7заг = |
10 + 0,2164-2,22 = 10,48 мин; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
мин. |
|
§19. СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ ОКОНЧАНИЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ КАЖДОГО ТРЕБОВАНИЯ
Рассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступает простейший поток требований с интенсивностью X. В си стеме имеется п одинаковых приборов обслуживания. Время обслу живания любого требования случайное, распределенное по показа тельному закону с параметром д. В системе т мест ожидания, причем число т может быть как ограниченным, так и бесконеч ным. При т ~ со каждое требование из потока попадает в систему. Если т — ограниченное число, то требование получает отказ в обслуживании, когда в системе уже имеется очередь из т требо ваний. Время 7\, ожидания начала обслуживания случайное, имею щее показательное распределение с параметром v. Если время ожидания начала обслуживания больше Т,, то требование покидает систему и потому остается необслуженным. Время Гт ожидания окончания обслуживания также будем считать случайной величи ной, имеющей показательное распределение с параметром у. Если время обслуживания требования превосходит 7\, то требование по кидает систему и потому остается недообслуженным. В результате получается, что любое поступившее в систему требование может быть обслужено полностью, частично или не обслужено совсем.
Состояния системы, как и раньше, определим в зависимости от числа находящихся в ней требований. Состояние Ск (&=0, 1, ...
..., п) означает, что обслуживанием занято k приборов, а состоя ние C n+S (s = l, 2, ... , tn) означает, что заняты все приборы об служивания и в очереди на обслуживание имеется s требований.
137
Чтобы получить систему дифференциальных уравнений для вероят ностей Рк (f) (k — 0, 1, ..., п + т) нахождения системы в различ ных состояниях, воспользуемся методом, изложенным в § 13. Си стема массового обслуживания с ограниченным временем ожидания окончания обслуживания каждого требования отличается от рас смотренной в § 13 системы только тем, что переход из состояния Ск (k = l, 2, ..., п) в состояние Ск_! происходит не только при окончании обслуживания одного из k требований, но и когда лю бое из k требований покидает систему, не дождавшись окончания обслуживания. Вероятность Pk,k (t, t-\-At) того, что за время от t до t -(- At состояние Ск не изменится, при малом At равна произ ведению вероятностей Р (Р х> &), [Р (7"^ > Д£)]к и [Р(ГТ>А^)] того, что за время At в систему не поступит ни одно требование, не закончит обслуживания ни один из k приборов и ни одно из k требований не покинет систему недообслуженным. Следова тельно,
Pkik (*, t + и ) = р ( п > м) [Р ( г , > |
A*)]k [Р ( рт > АТ)]к + |
о (М) = |
|||||
|
_ |
е-(х+к|1+кТ)« +0(Д^). |
|
(19.1) |
|||
Воспользовавшись формулой (13.3), находим |
|
|
|||||
Тк = |
Нш -^т- [1 — Pklk(£, |
t-\- Д*)] = х + й(р + тг), |
|
||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yk = X-|-^pi |
|
(19.2) |
|||
|
° |
(* = 0 , 1 , . . . , « ) , |
|
|
|||
где обозначено |
щ ' = Р + Т . |
|
(19.3) |
||||
|
|
|
|||||
Вместо (13.19) и (13.21) аналогично получаем: |
|
||||||
|
Tn+s = Х + rtpi+ sv |
(s = |
l, 2. |
1); (19.4) |
|||
|
|
Tn+m = «IT + |
tm. |
|
(19.5) |
||
Так как Tk = |
7k,k-i + |
Tk,k+ i, причем |
|
|
|
||
TO |
Tk,k+i = |
X (k = 0, |
1, . . . , n + |
m — 1), |
(19.6) |
||
Tk,k-i = ^ i |
(*= 1, 2, |
..., «); |
(19.7) |
||||
|
|||||||
|
Tn+S,n+S-1 = |
tly-i + sv. |
|
(19.8) |
|||
Найденные коэффициенты Ту отличаются от аналогичных ко эффициентов рассмотренной в § 13 системы массового обслужива ния только тем, что параметр р заменен на рь Следовательно, си-
138
стема дифференциальных уравнений для вероятностей Рк (t) запи сывается в виде:
о - ,о
II
1
-xp0(O +
pi^ i {t) ;
W |
) |
= - . ( X + ^ 1) P k( 0 + ^ : k—1W + Pi (k + l ) ^ - |
|
|
||||||
|
|
|
(Л: = 1 , 2 , . |
. . , |
rt— 1); |
|
|
|
||
n |
+SW = |
— (X -j- |
|
-f- sv) Pn+s (t) + XPn+s—! (0 + |
(19.9) |
|||||
|
|
|
+ [«Pi + (s + |
1) v]\Pn+s+x(t) |
|
|
|
|||
|
|
|
( s = 0 , |
1, . . |
. , m — 1); |
|
|
|
||
Рп+ш(0 = |
— («Pi + |
m'>) PП+1П(t) + XPn+m_, H ). |
|
|
||||||
Начальные |
условия |
для этой |
системы такие же, как |
для (13.23), |
||||||
т. е. (13.24). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Система дифференциальных уравнений (19.9) отличается от |
||||||||||
(13.23) |
только тем, |
что параметр |
ц заменен |
на ць |
Поэтому |
пре |
||||
дельные |
вероятности рк (k = |
0, 1, |
.. ., п-\-т) |
определяются |
фор |
|||||
мулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ро: |
а? |
а 1 |
|
-1 |
* + « 2 ; . |
|
-5 |
||
|
0 |
—1П (Я + /Р,) J |
||
|
|
/=1 |
|
|
Рк-~ |
■JTPo |
{Ь = 1, |
2.............. |
n)\ |
Рп+S- |
aiPn |
a"+s/70 |
||
S |
|
S |
|
|
|
П ( « + ^ ) |
п\ П (« + |
/?.) |
|
|
г= 1 |
|
i-i |
|
(19.10)
(19-11)
(19.12)
( « = 1, 2, ..., т),
где
X
Pi 14
Используя формулы § 18, находим:
— вероятность полной загрузки приборов
4*11.3 — i |
|
П—1 |
P n + s — 1 |
2 л |
|
s=0 |
k=0 |
|
вероятность наличия очереди |
|
|
|
m |
n |
P 04 --- |
Pfl+s --- 1 |
- 2 p |
|
S=»l |
k=0 |
j
k;
(19.13)
(19.14)
(19.15)
139