Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 222
Скачиваний: 0
Так как G(w; 0)— 1, то в результате интегрирования получаем
In О (и; |
i |
1 |
= a i 2 ^ s ( 7i — l)s — (е8М- I) |
||
|
S= |
1 |
Исключая из этого равенства параметр rj с помрщью (20.31), для искомой производящей функции получаем следующее выражение:
i
G(u\ t) = exp « i 2 ^ ( w - 1)5 (1— |
(20.4(5) |
S = 1 |
|
Зная производящую функцию, вероятность Pk(t) нахождения системы в момент t в состоянии Ск можно определить по формуле
|
|
|
|
|
1 |
|
dkG(u; |
t) |
|
(20.47) |
|
|
|
|
Р |
к |
k\ |
|
дик |
u=0 |
|
|
|
|
|
|
|
(k = |
0, 1, |
...). |
|
|
|
||
В частности, |
при k — О для вероятности |
P0(t) |
того, что в момент t |
||||||||
в системе нет ни одного требования, находим |
|
|
|||||||||
P0(t) = |
G (0; |
t) = |
exp |
|
|
|
( - D |
8 <7s(l - e ~ ^ ) |
. (20.48) |
||
|
|
|
|
|
|
|
S = 1 |
|
|
|
|
Дифференцируя выражение (20.46) по и, получаем |
|
||||||||||
dG{u.\ t)_ __ |
1 |
|
|
|
|
|
|
G(u; 0- |
(20.49) |
||
du |
L |
s=l |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P i ( t ) = |
^ ^ G (u; |
*) |
|
^ |
|
( - |
i ) 5- 1?sd |
sM) |
PoV). |
||
|
|
|
u=0 |
|
S = 1 |
|
|
|
|
||
Согласно |
(20.41) и (20.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
( - 1 ) 5- 1Чъ— Яо |
|
(0) ~ Qо = I) |
|
|||||
|
|
S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Л ( 0 |
= «1 |
1 + |
2 |
|
( - D |
'^ e - 4”* |
Po(t). |
(20.50) |
|
|
|
|
|
|
s~l |
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение можно также получить с помощью первого уравнения системы (20.39), которое при известной функции Р0 (t) записывается в виде
(2 0 .5 1 )
Г1
150
Аналогично можно получить явные выражения для вероятно стей Pk(t) при любых значениях k. Для математического ожида
ния у (t) числа приборов, занятых обслуживанием требований, с по мощью (20.49) находим
(20.52)
где
4i = 2 /> j. |
(20.53) |
i-i |
|
Система дифференциальных уравнений (20.16) может быть ре шена в явном виде и в некоторых других частных случаях. Имея аналитические выражения для вероятностей Рк(£) (^ = 0, 1, ...
..., п -(- от), можно исследовать характер изменения различных показателей эффективности при неустановившемся режиме функ
ционирования |
системы |
массового обслуживания. Вероятности рk |
(k — 0, 1, .. ., |
п-\-т) |
состояний системы при установившемся ре |
жиме ее функционирования, если только такой режим существует, определяются как решение следующей системы алгебраических уравнений:
k
- («1 + k) рк- f {k + |
1 )рк+х + |
a, 2 rjPk-j = |
0 |
|||
|
|
|
|
|
j=l |
|
(k = 0, |
1,. .. , |
ti — 1); |
|
|||
(a! + Л + SpiJ/Vt-s + |
[n -f- (s -f- |
1) pj] /?n + s + l |
-f- |
|||
|
n-fs |
|
|
|
(20.54) |
|
+ |
a l 2 |
Гj/7 I1+s_ j = 0 |
|
|||
|
|
|||||
( s = |
0 , |
1 , . . . , |
о т — 1 ) ; |
|
||
где
|
V |
T — |
(20.55) |
Искомые вероятности связаны равенством
П+Ш
(20.56)
151
В частных |
случаях |
система (20.54) упрощается. |
Если, напри |
мер, т = 0, / > |
п и гг = |
1, то вместо (20.54) будет: |
|
|
(ai + |
k) рк — (k - f - 1) рк+1 |
(20.57) |
|
(k = |
0, 1, . . . , п — 1); |
=(1 — Р п ) .
Сучетом (20.56) из (20.57) находим:
Рп- |
|
; - Ро ■ |
п\ |
|
|
|
П ( * + |
ai) |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
к—1 |
S-1 |
|
|
|
Роа1 |
a, |
п\ |
(20.58) |
|
|
|
||||
/V |
к\ |
П ( * + « ! ) = - I P |
ai) |
||
|
|
s = i |
k\ П |
(s + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s=k |
|
|
|
(Л = 1, 2 , . . . , П— 1). |
|
|
||
Из (20.35) и (20.36) для этих вероятностей получаются другие выражения в виде
А — |
l)s С„ - к s _|_ £ _(_ а) |
(20.59) |
|
||
|
s=0 |
|
|
(й = 0, 1, . .. , п). |
|
Зная вероятности рк |
(к = 0, 1, ..., п -f- т), по аналогии с дру |
|
гими системами можно определить различные показатели эффек тивности установившегося режима функционирования рассматри ваемой системы массового обслуживания. Вероятность полной за грузки приборов обслуживания и вероятность наличия очереди оп ределяются формулами:
m n — 1
Л..э= 2 / » „ + . = ! - |
2 рк; |
(20.60) |
s-О |
к — 0 |
|
Рп+$ ^ ■ S a - |
( 20.61) |
|
|
к=0 |
|
Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива нием,
П
У = |
2 |
крк 4 - п Р оч. |
(20 .62) |
|
к=1 |
|
|
152
В частных случаях выражения для у могут быть получены с по мощью формул вида (20.38) и (20.52) при t оо. Коэффициент загрузки приборов, т. е. вероятность того, что прибор обслужива ния занят,
£3аг = “ - |
(20.63) |
Математическое ожидание числа требований, ожидающих начала
обслуживания,
m
z = |
2 spn+s. |
(20.64) |
|
|
S=1 |
|
|
Математическое ожидание числа требований в системе |
|
||
7 = |
г/+ 7 . |
(20.65) |
|
Обозначим через | число требований,поступающих |
в систему |
||
в единицу времени. Математическое |
ожиданиеэтойслучайной ве |
||
личины |
|
|
|
i |
|
|
|
И=7 2 |
/0 = |
4 - |
(20.66) |
j=i |
|
|
|
Произведение г/ц равно математическому ожиданию числа тре бований, обслуживаемых системой в единицу времени, поэтому от
ношение Уу к совпадает с вероятностью полного обслуживания любого требования, т. е.
|
|
^п.обсл = Y |
• |
(20.67) |
|
Вероятность того, что |
требование будет обслужено частично, |
||||
|
|
РЧа с т = Л . |
(20.68) |
||
Вероятность того, |
что |
требование покинет очередь, |
определяется |
||
с помощью равенства |
|
ZV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп.о |
т |
|
(20.69) |
Вероятность отказа в обслуживании |
|
|
|||
Ротк'— 1 |
' (Рп.обсл -}" Рчаст) = 1 " |
(20.70) |
|||
|
|
|
|
* 1?1 |
|
Вероятность Рпеп |
непопадания |
требования в систему |
можно найти |
||
с помощью соотношения |
|
|
|
||
Рнеп |
1 |
(Рп.обсл |
| Рц |
ггЬ Рп.оч). |
(20.71) |
153