Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

боров

(при £ >

1)

заканчивает обслуживание.

Состояние Cn+S

( 5 =

1, 2,

... , т)

система изменяет в том случае,

когда в систему

поступает

требование

(при 5 < т — 1) или один

из п приборов

Гк =

Х +

£р

(£ =

0 ,1 ........ я);

Tn+s =

X +

Щ - f

sv

(s— 1,

2 , . . . ,

т — 1);

(21.8)

Тп+ш = пу. + тч. .

Из состояния

Ск

( £ =

1, 2,

. .. , п)

система переходит в состоя­

ние Ck_i, если освобождается

один из k приборов. Следовательно,

Tk,k-i = kY

( k = i , 2,

п).

(21.9)

Ск (к = 0, 1, ... , п — 1)

приводит к переходу системы сразу в со­

стояние Сп, поэтому

Тк,п = х

(А =

0, 1,

П - 1).

(21.10)

Справедливы также следующие равенства:

7n+s,n+s+i = ^

(s = 0,

1 , . . . ,

т

1);

|

fn + s .n + s - 1 =7=«p

+ s v

( s = 0 ,

1 , . .

. , /га).

I

Рк (*) =

- (к + ^ ) Рк (t) + (к + 1) аРк+1 (t)

(k =

0,

1......... га — 1);

+

k=0 ^ ( о +

+

(л**- + v) Pn+I (t) ;

( 21. 12)

-^П+S (^) —

O' + nY+

sv) Pn+s (t) +

^n+s-1 (^) +

P n+m (0 = — («Р +

Pn+m(t) + XPn+m_ 1 (t).

Если в системе очереди быть не может, т. е.

т = 0, то общее

число дифференциальных уравнений равно га + 1.

Первые га из них

совпадают с уравнениями из (21.12), а

последнее записывается

в виде

^ ( f ) =

- « i ^ „ ( * ) + x 2

p,(t).

(2i.i3)

При этом

система

дифференциальных уравнений совпадает

с (20.21), когда fxi =

ц. Следовательно,

искомые вероятности опре-,

деляются формулами (20.35) и (20.36), т. е.

P0{t) =

+

( -

1)5Сп

[1 _ e-(x+^)t];

(21.14)

s=0

рк (t) =

Сп " | V

I)3CiU

[ l - ^ + » + « ) M t ]

(21.15)

( * =

1, 2, ....

л),

Ро-

f l( s

+ «)

/V

Л + а ’

S— 1

k—1

are!

(21.16)

Рк =

П

(s +

°0:

s=0

А |П (* +

«)

s=k

или

( f t = l , 2 ,. .. , л - 1 )

а

(21.17)

(k =

0, 1,

...,

re).

(а

k) Рк— (k + 1) Рк+i

— 0, 1, . . . , ге — 1 );

П-1

(я + л) ра — а к-0 Рк +

(л + Р) Pn+i ;

(а -j- re -f- sp) jPn+s — ^Pn+s—i

[л ~Ь (s ~Ь 1 ) Р] ft+s+i

(s = 1, 2, . . •, /ге — 1);

(л -)■' Л/Р)/ ’n+m — аРп+т—11

где Р =

— .

V-

Ро

к — 1

П ( И - а )

(к— \, 2 ..........п).

(21.19)

Положим

k\

1=0

Я-S

aPn+s—1

ip +

5р) Pn+s

(21.20)

( s = 1 , 2,

т).

Тогда последние т уравнений из

(21.18)

принимают вид

as+1 =

as

( s = 1,

2 , . . . ,

т -

1); ат= 0.

Но тогда as =

О (s =

1 , 2, ..., т) , а потому

я

__aA i+ s —1

т. е.

Pn+S

n +

s$ ’

Р n+s

«Л .

(S = l, 2,

т).

( 21. 21)

П ( « + /Р)

j-i

С учетом

равенства £0 = 0

из

(и +

1)-го уравнения

(21.18) на­

ходим

П—1

пра

_

( 21.22)

^ Р к :

а

к=0

Подставляя (21.22)

и (21.21) в соотношение

n -fm

2

а

= 1,

(21.23)

к—О

п

m

п

+

Рп

(21.26)

у = 2

л 2

Pn+s = 2 kPk + п 1 - 1

к-1

s=l

к=1

Математическое ожидание числа требований в

очереди

ГП

* = 2 « / W

(21.27)

S=1

Л™ = />п+т + Т .

'■

(21.28)

Чтобы найти вероятность Рп.обсл полного обслуживания любого

требования, воспользуемся формулой полной вероятности

Рп.обсл = 75 ( Л ) = 2 Р(Нк)Р(А/Нк).

(21.29)

к=0

но это

требование

обслуживалось

(одним прибором), а гипотеза

PIп+1 — что требование получило

отказ в обслуживании. Вероятно­

сти этих гипотез:

/3 (^ k )= P k

(* =

0,

1 ,

..., л - 1 ) ;

(21.30)

n+m

n—1

Р (Яп) =

s2= 0 Pn+s

Pqik— 1

k=02P\/L ^отк!

P (#„+,) = P0TK•

Кроме

того,

P(A/Hn+l)= 0,

Р (Л ///п) = р, a

P(AfНк) =

1 - q"~k

(* = 0, 1 , . .. ,

n — 1 ), где <7=

1 — p.

Искомая вероятность полного обслуживания требования

п—1

/

п—1

\

р„.обсЛ= 2

p k ( i -< ?"-“) +

1 - Л ™ -

2 р к )р-

(21-31)

к = 0

\

к = 0

/