Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Скачать файл (11,56Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 230

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Е с л и р — 1, то
Рп.обсл 1 Ро	(21.32)

Пример 21.2. В системе ПВО с нарушенным управлением каж дая цель обстреливается всеми свободными зенитными комплек сами, причем начало обстрела совпадает с моментом пересечения целью границы зоны обстрела. Если в указанный момент времени свободных комплексов нет, то цель остается необстрелянной. Время Гр. обстрела любой цели является случайной величиной,

имеющей показательное распределение с параметром		р =	4 1/мин.
За время обстрела каждый комплекс поражает	цель	с вероятно
стью р = 0,5.	цели	при	стацио
Определить вероятность поражения каждой

нарном режиме стрельбы, если имеется пять зенитных комплек

сов, а интенсивность потока целей К — 4					1/мин.
Р е ш е н и е . В данном		случае число приборов обслуживания
п = 5, мест ожидания нет,		т.	е. т =	0.	По условию	р = 4 1/мин,
А = 4 1/мин, а потому	а = —		= 1 . Воспользовавшись			равенствами
(21.16), находим рк =	— (k =		Q, 1, . .. ,		5). При этом вероятность
того, что цель не будет обстреляна,				Р0ТК— pb — -g - •		Искомая ве
роятность поражения каждой цели
П— 1
п.обсл = 2	> к (1		) =	4	5 - 2 ° . 5 " - 1) =
к=0					к=0
	_5	1	1 — 0,5&=		0,805.
	6	12 1 - 0 , 5

Система с полной взаимопомощью между приборами

Рассмотрим систему массового обслуживания с п одинаковыми приборами и пг местами ожидания. Интенсивности потока требова ний, обслуживания каждого требования и ухода требований из очереди равны l , p n v соответственно. Работа системы организована так, что первое требование начинает обслуживаться всеми п прибо рами. Момент завершения обслуживания совпадает с моментом окончания обслуживания любым одним прибором; при этом осво бождаются все приборы. Если в процессе обслуживания одного требования в систему поступает второе требование, то часть при боров, не закончив обслуживания, переключается на обслуживание

этого требования. Когда		в	системе обслуживается k	требований
(k = 0, 1 ,	п — 1 ),	на	обслуживание очередного	требования

163

также переключается часть приборов. При окончании обслужива ния требования любым прибором освобождаются все приборы, об служивающие это требование, т. е. имеется полная информация о результатах обслуживания. Если в момент окончания обслужи вания в очереди требований нет, то освободившиеся приборы пе реключаются на обслуживание находящихся в системе требований. Поэтому при наличии в системе хотя бы одного требования обслу живанием заняты все я приборов. Когда в системе имеется я + s требований (s = 0, 1 , ... , т — 1 ), очередное требование становится в очередь на обслуживание и находится в ней не более случайного промежутка времени 7V Если за это время не освобождается ни один прибор, то Требование покидает систему, оставшись необслуженным. При наличии в системе я + т требований очередное тре бование получает отказ в обслуживании.

Состояние Ck (k — 0, 1, ..., я) означает, что в системе имеется к требований, которые обслуживаются я приборами. При состоя

нии	Cn+S	(s =	1 ,	2,	..,,	т)	в системе	я +	s требований, из кото
рых	я находятся			на обслуживании, a				s в	очереди. Вероятности
Рk (t)	(к =	0,	1 , ... ,		я	т)	нахождения системы в различных со

стояниях являются решением следующей системы дифференциаль ных уравнений:

	р '(0		= -	хр0(0 +				л^ 1	(0 ;
Рk(t) — — (X + яр) Pk(t)-\-\Pk_ ! (t) + ярРк+1 (t)
	(к— 1 , 2 , . . . , я — 1 );
P'n+S (t) =	— (X + яр				sv) Pn+8 (t) -j- XPn+s_i (t) +						(21.33)
	+	[яр +		(s -f		1 ) v\| ^n+s+1 V)
		(s =	0,	1,	.	.	. ,	m —	1);
Pn+m(*) =		-	(W +				P.H-™(*) +		XPn+m-1	(*)•
Если m — со	и	a = ----->				я,	то	предельные		вероятности р к
			I1

равны нулю, т. е. при этом не существует установившийся режим функционирования системы. Во всех остальных случаях предель ные вероятности отличны от нуля и определяются с помощью ра венств:

aPo = npi\
( а + n)pk = apk-i-\ -n p k+1	(А=	1, 2, .	. . , Я —	1);
(а 4 - n + S $ )p a+s = aPn+*-l +	[я +	(5 +	1) P]Pn+s+l	(21.34)

(s = 0, 1, . . . , пг — 1 );

(Я -j- tfl$) P n + m = = аР п + ш — 1 •

164

Положим:

h =

*Pk -

nPk+i

(6 =

0, 1 , . .

n — 1 );

^n+s

&Рп+ъ

’ [Я "4”

“I" 1) P] Pn+s+1

(21.35)

(s = 0, 1, • • m — 1) .

Тогда соотношения

(21.34)

можно

представить в

виде:

60= 0 ;

h =

h - i

(А: = 1 , 2 , .

•

•'

1);

) (21.36)

A’n+S == ^n+S—1 (s = 0)

1, . .

. ,

—

1 ) ;

6 n+ m - l =

0 .

Решение

этих

уравнений: Ьк = 0

(6 =

0, 1,

...,

rt +

m — 1 ).

Следовательно,

Л + 1 = ~ Л

(6 = 0, 1 , . . . , n - 1);

(21.37)

» +

( / + i ) p ^ - »

<s = 0 > 1 ..............'>•

С помощью последних равенств находим:

Рк=

Ро

(6 =

1, .

п);

(21.38)

Pn+S —

а5

Рп---i

а5

/ а \п

(21.39)

(

I Ро

П ( « + / Р )

П (* + /?)

j=l

j-1

{ s — 1 ,

2, . .

. , т).

Для определения

вероятности

ро

воспользуемся соотношением

n+m

й =

(21-40)

Тогда

к-0

\lr

\ П

Ро =

2 т )+ т

(21.41)

к=0

s=l

(п +

/Р)

Если р = 0, то

j-i

Рк = ( - ^ - )

Ро

( 6 = 1 , 2 , . .

. , п + т).

(21.42)

165

В этом случае

				1	п
					п
	n + m /	„ ' к ' -1		в \п+^Г+1 1		ПРИ а ф п '
	'	а
Ро	2	i	1 _	~п )			(21.43)
	к=0			1
				1	при	а=	п.
			п + т +		при	а=	п.
			п + т +		1
	Зная вероятности		Pk(k =	0, 1,	п-\-т),		можно определить

различные показатели эффективности функционирования рассмат риваемой системы массового обслуживания при стационарном ре

жиме.
Вероятность наличия очереди	П
П1	П
Ля = 2 Pn+S= 1 — 2 Рк-		(21.44)
s = 1	к=0
Математическое ожидание числа	обслуживаемых	требований

У = 2 &Рк + пРоч-

к=0

Математическое ожидание числа требований в очереди

2 SPn+s •

s= 1

Вероятность обслуживания любого требования

Р- У Е — У

обе-1 ~ X ~ я ‘

Вероятность отказа в обслуживании

Р —	, 2 v	1
^отк— Рn+m Т '			я
	>.

(21.45)

(21.46)

(21.47)

(21.48)

В частных случаях все		формулы упрощаются. Если, например,
(5 — 0, то
	1	—	а	. n + m
			п
					при	я Фа
			а	\п + ш + 1

Робсл 1 Рп+т	1	“	( т )			(2 1 .4 9 )

		п-\-т		при а =		п .
	я +		/ге +
				1

166

Пример 21.3. Используя условие примера 14.2, найти прира щение вероятности обстрела каждой ракеты, которое можно полу чить, преобразовав противоракетную оборону кораблей охранения из системы с отказами в систему с полной взаимопомощью между

зенитными комплексами.			2.	Для системы
Р е ш е н и е . В данном случае п = 3, т — О, а =			2.	Для системы
с отказами вероятность обстрела любой цели Р = 0,790.
Используя формулы (21.43)	и '(21.38),	для системы с полной
взаимопомощью находим:
	/	2 \ 3		8
	Л = ( Т ) Л		=	65"-
При этом вероятность обстрела любой цели
Робст = 1	- Р з = 0,877.

Искомое приращение вероятности

Робот- Р = 0,877 - 0,790 = 0,087.

§ 22. СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОТОКОМ ТРЕБОВАНИЙ

При анализе функционирования различных систем массового обслуживания предполагалось, что число требований во входном потоке не ограничено. Кроме таких систем существуют так назы ваемые замкнутые системы массового обслуживания, в которых входной поток требований ограничен.

Предположим, что имеется ограниченное число т объектов, каждый из которых иногда нуждается в обслуживании (ремонте). Для обслуживания этих объектов имеется п (п < т) одинаковых приборов, каждый из которых одновременно может обслуживать только один объект. Любой объект, действующий в момент t, с ве

роятностью Л)Д/-)-0 (А^) выходит		из строя в промежуток времени
от t до t +	At. Каждый объект,	обслуживаемый в момент t, с ве
роятностью	рД^ + 0 (Д^) входит	в строй за этот же промежуток

времени. Следовательно, случайный промежуток времени, в тече ние которого каждый объект не требует обслуживания, имеет по казательное распределение с параметром К, а время обслуживания любого объекта распределено по показательному закону с пара метром (г. Если при поступлении объекта в систему обслуживания там имеется хотя бы один свободный прибор, то сразу начинается обслуживание этого требования. В противном случае объект ста новится в очередь и не покидает систему, пока не будет обслужен.

Состояние Ск	—	означает, что в системе обслу
живания находится	k объектов,	а потому вне системы их т — k.

167

Смотрите также файлы

Информационные технологии Подготовила студентка Куриленко Валерия Леонидовна.pptx

1. 1 Понятие и сущность права. 2 Источники права. Нормы права. 3 Правоотношения.pdf

1 Основные требования законодательства Российской Федерации о труде и охране труда.docx

.rtf

Российский государственный социальный университет Рубежный контроль 1 по дисциплине Конституционное право.doc

Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно