Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

ных уравнений, которая получается

из

(13.1)

при соответствую­

щих коэффициентах fk и Ykj-

Смена состояния Ск происходит при поступлении в систему од­

ного из m — ft объектов и

при

освобождении любого прибора

об­

служивания. Когда ft < п,

занятых приборов ft,

а при ft ^

п их

п.

Поэтому

(т — ft)X -f- ftp

при

ft <

я ;

( 22. 1)

(т — ft) X -J- цр

при

ft >

я .

Переход системы в состояние Ск за малое время практически

возможен только из состояния Ck_ t

(ft =

1,

2, .. ., т) и из состоя­

ния Ck+1 (ft = 0, 1, ... , т — 1 ).

Из

Ск_!

в

Ск

переход осуществ­

ляется вследствие поступления любого из

т — (ft— 1 )

объектов.

Следовательно,

Ik-i,k = (m - k-\- 1 )X

(ft =

1,

2, . .. , m).

(22.2 )

Если ft < и, то переход из состояния

Ск+1

в Ск

происходит вслед­

ствие освобождения одного из ft

приборов, а при ft > п из-за осво­

бождения одного из п приборов

обслуживания.

Поэтому

(22.3)

4 - ( m — ft 4

- 1 ) x,P k — ! ( t ) +

(ft + 1) p / \ +1 (£)

( f t = l, 2 , . . . , я - 1 );

K V ) =

— [(m — s)l +

яр] Ps (t) - f

(22.4)

к

n P m —

aP m ~ l,

где a = — .

IA

Положим:

ак =

(m — k) apk — (k + \)pk+1

(fe =

0, 1,

....

n — 1);

)

( 22.6)

as =

{m - s) aps -

nps+,

(s =

n,

л +

1 , ...,

m — 1 ). \

Тогда равенства (22.5) принимают вид:

afl =

0 ;

ak =

ak-i

(* = 1 ,

2,

1);

j

(22.7)

as =

« s_ ,

(5 =

л,

л - f - l , .

.. ,

/л —

1);

a m_ , = 0 -

j

Следовательно, як=

0

(6 =

0, 1,

... , tn— 1),

а

потому

Pk+i

=

(m — k)

(^ =

0,

1 , .

• . , л — 1 ) ;

( 22.8)

("/T+' f)'" a/?k

A+i

(лг —

s)

.

,

,

. ,

m — 1).

(22.9)

= ------ -— — v-Ps

{s— n, n +

1 , . .

С помощью этих формул находим:

Рк = CmaVo

(^ ~

1) 2, . .. ,

л ) ;

(22. 10)

_ ( т — п)\

/ а у-п

_

tnlas

Р* ~

{ т

—s)!

У п J

—

(22. 11)

n, л + 1,

nl(m

s)\ns~n

(s =

т ) .

объекта

^ =

Если tnp — математическое

ожидание времени

простоя

объекта,

то отношение tx к tx + tnp

равно вероятности

( 22.21)

Тогда

1_

( 22.22)

-п р

X

Ри

Время простоя объекта Гпр можно представить в виде суммы

Гпр = Точ + п , где Точ— время ожидания

начала

обслуживания,

Тр— время обслуживания. Так

1

*

математическое

как t^= —

то

ожидание времени пребывания объекта в очереди

tоч

tnр

(22.23)

У-

равно математическому ожиданию времени пребывания

объекта

в очереди, т. е. для /оч справедливо равенство

.

(22.24)

ПУ

стемы

обслуживания, равно

m - х . Произведение

Х(т — х)

совпа­

дает с

математическим

ожиданией числа объектов, поступающих

в систему

в единицу

времени. Отношение z к

Х(т — х)

также

равно t04,

т. е.

tоч

г

(22.25)

X (яг — х)

Из сравнения (22.24) с (22.25) следует, что справедливо равен­

ство а (т — у ~ z) = у,

а потому при определении z вместо

(22.17)

можно использовать соотношение

z =

1 -f- а —

(22.26)

т — — 1— У ■

п s