Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 233
Скачиваний: 0
Пример 22.1. Обслуживание восьми объектов производится двумя рабочими. От каждого объекта требование на обслуживание в среднем поступает через 5 ч. Математическое ожидание времени обслуживания каждого объекта одним рабочим равно 1 ч.
Сравнить показатели эффективности обслуживания этих объек тов в двух случаях, когда
а) каждый рабочий обслуживает определенные четыре объекта; б) объекты обслуживания между рабочими не разделены.
Р е ш е н и е . По условию математическое ожидание времени на
хождения объекта |
вне системы |
обслуживания £х = |
5 ч, а потому |
>.= - i - = 0 ,2 1/ч. |
Так как£,i = l |
ч, то р, = -J— = 1 |
1/ч. Тогда а = |
=-— = 0,2 . f1
а) Если каждый рабочий обслуживает определенные четыре объекта, то для любой из двух систем обслуживания в этом случае
п = 1, т — 4. Используя формулы (22.13), (22.10) и (22.11), на ходим:
|
/ V |
1+C J-0.2 + - ^ - 0 , 2 2 + 4 !0 ,2 3 + |
4!0,24 |
|||
|
= 0,3983; р, = 0,3186; |
р2 = 0,1912; р3= 0,0765; |
р4= 0,0153. |
|||
= |
Вероятность полной загрузки |
каждой системы |
Рп.з— 1 — Ро == |
|||
0,6017. |
Вероятность |
наличия |
очереди |
Поч= 1 — (Po + Pi) — |
||
= |
0,3831. Математическое |
ожидание числа объектов, находящихся |
||||
в |
процессе |
обслуживания |
в каждой системе, |
у = |
1 — Ро = 0,6017. |
|
Коэффициент загрузки системы Рзаг= 0,6017; коэффициент про стоя k„p = 0,3983.
Математическое ожидание числа объектов, ожидающих начала
обслуживания в каждой системе, z — р2 + 2р3 + Зр4= 0,3901. Ма тематическое ожидание числа простаивающих объектов в каждой
системе х = у + |
z — 0,9918. |
Вероятность |
простоя |
РПр— ~ ~ ~ |
|
= 0,24795 ^ 0,248; |
вероятность |
того, |
что объект исправен, Р„сп= |
||
= 0,752. Математическое ожидание |
времени простоя |
объекта |
|||
|
5-0,24795 |
~ 1,648 |
ч . |
|
|
|
0,76205 |
|
|||
Математическое ожидание времени пребывания объекта в очереди
*оч = *пР — 4 - = °>648 4•
Г
172
б) Если объекты обслуживания между рабочими не разделены, то п — 2, а т — 8. При этом
|
|
л - |
|
|
|
|
|
2- 8! |
0,1‘ |
|
|
|||
|
|
2 |
с «°-2 к + 2 |
|
|
(8 — s)! |
|
|
||||||
|
= (1 + |
1,6 + |
1,12 + |
0,672 + |
0,336 + |
0,1344 + 0,04032 + |
|
|||||||
|
|
|
+ |
0,008064 + 0,0008064)-' = |
0,2036; |
|
|
|||||||
|
Pi = |
0,3258; |
р2 = |
0,2280; |
|
Рз = 0,1368; |
р4 = 0,0684; |
|
||||||
|
Рь = |
0,0274; |
р6 = |
0,0082; |
р7= 0,0016; р8= 0,0002. |
|
||||||||
Вероятность того, что оба рабочих заняты обслуживанием |
(двух |
|||||||||||||
объектов), |
Р п .з = 1 — (Ро + pi) = |
0,4706. |
Вероятность наличия |
оче |
||||||||||
реди |
Роч= 1 — (Ро -j- pi + |
Pz) = |
0,2426. |
Математическое |
ожидание |
|||||||||
числа |
объектов, |
находящихся |
|
в |
процессе |
обслуживания, |
у — |
|||||||
= 2(1 — ро) — р\ = |
1,2670 |
(вместо |
2-0,6017 = 1,2034 |
в первом |
||||||||||
случае). |
Коэффициент загрузки |
|
каждого |
рабочего &заг = |
— = |
|||||||||
=0,6335 (вместо 0,6017); коэффициент простоя knp= 0,3665. Воспользовавшись равенством (22.26), находим математическое
ожидание |
числа |
объектов, |
находящихся |
в |
очереди, |
2 = |
8 — |
||||||
•— 6-1,2670 = 0,3980 (вместо |
0,3901 в каждой |
системе). Математи |
|||||||||||
ческое |
ожидание |
числа |
простаивающих |
объектов |
х = у + z — |
||||||||
= 1,6650. Вероятность простоя объекта |
Япр= |
0,208. |
Вероятность |
||||||||||
того, что |
объект исправен , Pnzn — 0,792, т. |
е. |
на 0,04 |
больше, |
чем |
||||||||
в первом |
случае. Математическое ожидание времени |
простоя |
объ- |
||||||||||
екта |
- |
] — Р |
|
|
Математическое |
ожидание |
вре- |
||||||
tПр = — ' р ~исп = 1,314 ч. |
|||||||||||||
мени пребывания |
объекта |
в |
очереди ^оч= |
0,314 ч, |
т. |
е. |
примерно |
||||||
в два раза меньше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 2 3 . |
С И С Т Е М А |
С Р А З Л И Ч Н Ы М И |
П Р И Б О Р А М И |
О Б С Л У Ж И В А Н И Я |
|||||||||
Рассмотрим функционирование системы массового обслужива ния с приборами различной производительности. Для простоты ограничимся случаем, когда имеются две группы, в первой из ко торых пи а во второй п2 одинаковых приборов обслуживания. Время обслуживания любого требования случайное, распределен ное по показательному закону с параметром pi для каждого при бора первой группы и с параметром рг для каждого прибора второй группы. Входной поток требований простейший с интенсивностью X. Если в момент поступления требования на обслуживание в системе имеется хотя бы один свободный прибор, то один из них сразу при
173
ступает к обслуживанию этого требования. Когда обслуживанием занято k приборов первой группы и / приборов второй группы, ве роятность того, что поступившее требование будет обслуживаться прибором первой группы, равна fk, j, а прибором второй группы gk,j = 1 — /к, j. При этом
fn,,i — 0; |
= 1 |
(/ = |
0, |
1 , .. ., «2 1 ); |
/к,п,= 1 ; |
gk,n2= 0 |
(fe= |
0, |
1 ......... Пх — |
Если обслуживанием заняты все щ + |
п2 приборов, то поступаю |
|||
щее требование становится в очередь на обслуживание. Число мест ожидания пусть равно т. Для простоты будем считать, что требо вания очереди не покидают.
Пусть состояние Ck,j(& = 0, 1, ..., П\\ j — 0, 1, ... , п2) озна чает, что обслуживанием требований занято k приборов первой группы и j приборов второй группы. Число таких состояний N =
= {П\ + 1 ) (л2 + 1). |
Состояние |
Со = |
Со,о означает, что требований |
|
в системе нет. При состоянии |
CN = |
Cn„na системой обслуживается |
||
П\-\-п2 требований. |
Введем еще т состояний |
CN+S(s = l, 2, ... |
||
..., т), причем CN+S означает, |
что в очереди на обслуживание на |
|||
ходится s требований. |
|
|
системы в различ |
|
Вероятности |
j (t) и PN+S (t) нахождения |
|||
ных состояниях являются решением следующей системы диффе ренциальных уравнений:
Р а д {t) = |
— |
ЪРо.О( t) - ( - \>-ХР1,0 |
( t) - { - ]i.2P 0,1 ( t) J |
Рад (0 = |
~ |
(Ь + ^ l ) Pk.0 (*) |
+ Pi (k + 1) Pk+1,0 (t) + |
+f ^ P k . l (^ ) + /k - l.O ^ P k - 1 ,0 ( t )
|
|
|
(k— 1, 2 , . |
. |
. , «1 — 1); |
|
|
|
||
Р д „0 |
( £ ) = |
— |
0 - + |
« 1Р 1 ) P n,,0 |
(£ ) + |
Р гР п.,1 |
(^ ) |
+ |
/n 1- l,O ^ P n 1- l , o ( ^ ) ; |
|
Po, j |
( 0 = = |
— |
O' + / V 2) Po,, |
(t) + |
(*•) |
+ |
|
(23 1 ) |
||
|
|
|
4' 1*2 0 + 1)Po,j+i(0 "t'fi’o.i— ' |
1 |
(t) |
|||||
|
|
|
|
0 — К 2 , . . |
« 2 1 )j |
|
||||
Po, na (^) = |
|
"f" |
Po.n2 (£) + |
P iP i,n a (^) + |
£о,па—l^Po.n,—1 ( t ); |
|||||
P j i fj |
{ i) = — |
( ^ + |
“ Ь / V 2 ) P k ,j (£ ) + t^l |
+ |
^2 ( / + |
1) P k ,j + l (^ ) + / k - l , j ^ - P k - l . j ( 0 |
|
~ Ь 1 ) P k + l, j ( t ) +
+ g k , j - l X P k , j~ l ( t )
(k = 1, 2, . . |
/ = 1, 2 , . . . , й 2— 1 ) ; |
174
рлиj ( 0 — |
~ O' + |
« if t + |
/ft) Ч , |
(Z) + |
f t |
(/ + 1) Я п„]+1 (£) + |
||
|
+ |
/ n , - l , j ^ |
n , - l , j (Z ) |
+ М 3п ,,j |
1 |
( t ) |
|
|
|
|
(/ = i. 2 , . . . , «2 — 1 ); |
|
|||||
Рк,па(О = |
— 0 “ + |
+ ^ ft) ^Ь,па (^) + |
ft (к -f- 1 ) Pk+hn^t) + |
|||||
|
~Ь ^ Р к — l,n , ( t ) 4 “ ^ k , n a— |
к,па— |
1 (Z) |
|
||||
|
|
(A = l, 2, . . . , п,— 1); |
|
|||||
Р'пищУ) = |
~ ( ^ + « l f Al + |
re2lJ'2)Z3ni,n!1(^)+ («l!A1+ fl2[i2)PN+i(Z‘)_^ |
||||||
|
|
- j - ^ Z >n 1- i , n , ( Z ) + |
)'-РП1,п3_1 (Z ) ; |
|
||||
|
P N+S (t) = - |
(* + wlft + »2ft) P N+s(t) + |
|
|||||
|
"Ь («lft "Ь rt2ft) ^N+s+l {t) 4* ^^N+s-1 {t) |
|
||||||
|
|
( s = 1 , |
% • • •, rn— 1); |
|
|
|||
Я Ы+т ( 0 = |
— ( « l f t |
+ «2fi2)Z3N+m (t) + |
* P N+ m -l (f) . |
|
||||
Начальные значения искомых функций следующие: |
|
|||||||
|
Ро,о(0)=1; |
Pkli(0) = 0 |
при |
АН-/ =?«=0; 1 |
||||
|
^ n+ .(0) = 0 ( s = l , 2, . . . , т). |
] |
||||||
Система (23.1) линейных однородных дифференциальных урав-, нений с постоянными коэффициентами решается общими методами. Предельные вероятности
рК]= Нш Pklj (t)\ |
рп+ъ= Hm PN+S {t), |
t- * - 00 |
t-*-0 |
если только они существуют, могут быть определены из алгебраи ческой системы уравнений, которая получается из (23.1) при за мене функций P*,i(t) и PN+S(t) на постоянные p k,j и p N+s.
Рассмотрим частный случай, когда имеются только два прибора различной производительности, т. е. П\^=п2= \ . В этом случае система дифференциальных уравнений (23.1) записывается в виде:
Л>,о^) = |
— ^ о ,о (0 + ftP,,o (t) + ftPo,i(0; |
|
|
Р1,0 Щ = |
— |
~Ь P-i) Pi,О(t) + ftP2(Z) -j- fkPo,o{ty, |
|
|
|
/ |
(23.3) |
р;.,(0 = |
- |
(Ч- ft) PoAt) + ftPAt) + (1 -f)bPoAt); |
|
P2(t) — — O' + ft + ft) P2 (t) + (ft + ft) P3 (Z) +
-j- ^P0,1 (t) -f- IPi,o(Z);
175
К +%( 0 = - |
(Ь + |
|
1*1 + |
Р2) Л - s ( 0 + (I*! + Р ^ З -Ь .(*) + |
||
|
|
|
|
+ ^ |
1+. (А |
(2 3 .3 ) |
|
(s |
= |
l, |
2, . |
. . , |
|
|
т — 1) ; |
|||||
р 2+ш(*)= ~ |
(1*1 + |
(*2) Р2+т (0 + |
U>l+m (t), |
|||
где / — вероятность |
того, |
что |
при |
свободных приборах поступив |
||
шее в систему требование будет обслуживаться прибором первой
группы. |
Pi{t) |
для рассматриваемой системы |
частного |
типа |
|||||||||
Функция |
|||||||||||||
совпадает с вероятностью |
|
|
того, |
что в системе находятся два |
|||||||||
требования. |
Сумма |
P\,o(t) + |
РолА) |
является |
вероятностью |
P\(t) |
|||||||
того, что в системе одно требование, |
а Ро,о(0 |
— вероятность |
того, |
||||||||||
что требований в системе нет, |
т. е. Po,o(t) — Po(t). |
|
|
|
|||||||||
Предельные вероятности находятся из следующей системы ал |
|||||||||||||
гебраических уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^Ро— PlPl,0 + |
РгРОЛ ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
А + Pi) Pi,о— РгРг 4~ АРо ; |
|
|
|
|
|||||||
|
А + |
P2)Po,i = |
Р1Р 2 + |
(1 — /) ^Ро> |
|
( |
(2 3 .4 ) |
||||||
|
А + Pi + |
Р2) Р 2+ s — (Pi "Ь Рг) Рз+s + |
bPl+s |
|
|||||||||
|
|
(s = |
0,1, . |
. . , |
i V - 1 ) ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
(Pi + Р2) р 2+Ш = |
^Pl+rn- |
|
|
|
|
|||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a s = ^ i + s — (P i |
+ |
P2) p 2+s |
|
|
|
( 23.5 ) |
|||||
|
|
|
( 5 = 0, 1, .... m). |
|
|
|
|
|
|||||
Тогда последние m -\-1 уравнений из |
(23.4) |
записываются в виде |
|||||||||||
a s+ i = a s |
(s = |
0, |
1, |
. . |
. , о т — |
1); |
а ш = |
0 . |
|
||||
Следовательно, as — 0 |
(s = |
0, |
1, |
.. ., |
от), а потому |
|
|
|
|||||
где |
P 2+s — |
aP i+ s |
|
(s = |
0, |
1, . . . , |
m ) , |
|
|
(2 3 .6 ) |
|||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 3 .7 ) |
|
|
|
|
|
|
Pi + Р г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исключая р2 из второго и третьего уравнений |
(23.4), приходим |
||||||||||||
к равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(к + |
pj) Pi/71,0 — |
А + |
р2) p2Po,i = |
У-Ро [/Pi — |
(1 |
~ |
/) р2] • |
|
|||||
Согласно первому уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p2Po.i |
= |
Ьр0 — P iP i.o . |
|
|
|
|
|
|||
176