Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 235
Скачиваний: 0
§ 26. ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ПРИОРИТЕТНОГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ
Рассмотрим систему массового обслуживания с одним прибо ром ( п = 1 ) и с неограниченным числом мест ожидания, в кото рую поступают два простейших потока требований с интенсивно стями Я) и %2 соответственно. Если прибор обслуживания занят, то требование из второго потока становится в очередь на обслужива ние. Требования из первого потока ожидают начала обслуживания только в том случае, если происходит обслуживание требования из этого же потока. В противном случае обслуживание требования из второго потока прерывается, а недообслуженное требование воз вращается в начало очереди из требований своего потока. Возоб новляется обслуживание этого требования только при отсутствии в системе требований из первого потока. Число прерывов в обслу живании требований из второго потока не ограничено. Повторное обслуживание требования нз второго потока производится так, как будто обслуживанйе и не производилось. Время обслуживания лю бого требования случайное, распределенное по показательному за кону с параметром |+i для требований из первого потока и с пара метром Ц2 для каждого требования из второго потока.
Пусть состояние Ck.j (&, ,/ = 0, 1, . . . ) означает, что в системе находится k требований из первого потока и j требований из вто рого потока. Вероятности Pk,j(0 (k, / = 0, 1, ...) нахождения си стемы в указанных состояниях являются решением следующей системы дифференциальных уравнений:
Po,o(t)— — (^i + |
Х2) Р0,0 (t) “I- V-iP1,0(^) + ^ о д {t)', |
|||||
Р к,О ( 0 = |
— |
(^1 + |
^2 "Ь lb ) Р к,о (t) "Ь ^1Р к—1,0 {t) |
!Ч Р к+ 1,0 {t) |
||
|
|
|
(А = 1 , |
2 |
|
|
Р04 (t) = |
- |
(X, + |
+ to) Po,i ( t) + |
X2P0iJ_, (t) + |
|
|
|
|
|
+ V-2Po.j+i |
( 0 + 14^i,i(0 |
(26.1) |
|
|
|
|
(/ = 1 . |
2 , . . |
.); |
|
Pk,j (0 — — (Xi + |
^2 + ^1) P k,j (0 + |
XjPk—1,] (t) + |
|
|||
+H'iPk+l.j (t) + X2Pk,]-i (t) {k, j = 1 , 2 , . . . ) .
Начальные значения искомых функций следующие:
Ро,о (0) = 1; Рк,; (0) = 0 ■(£ + / = 1, 2, . . . ). |
(26.2) |
Для решения системы (26.1) линейных однородных дифферен циальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо использовать специальные методы, так как число уравнений не
195
ограничено и все они связаны между собой. Ограничимся рассмот рением установившегося режима функционирования системы мас сового обслуживания, при котором вероятности Рк,\ (k, j — 0, 1 , . . . ) нахождения системы в различных состояниях совпадают с соответ
ствующими предельными вероятностями |
Ркд (со) = lim Pk.j (0 • |
|
t—оо |
Эти вероятности являются решением следующей системы алгебраи ческих уравнений:
(>ч -j- Х2) p0fi — |
-j- Р2Р0.1 ; |
|
|
|
||
(X ] -(-Х , + pi)/?k,o = |
^i/?k-i,o |
+ |
PiPk+1,0 |
( k = l , |
2, . . . ) ; |
|
(Xj -f |
Х2 -)-p2)/J0,j = |
X2/?oij_ 1 -f-p^o.j +i + |
V-iPia |
(j — 1 , 2, . . . ) ; (26.3) |
||
(*•1 + |
^2 + Pj/^k.j |
|
+ |
PiPk+\,i -f-^Pk.j-l |
|
|
|
|
(k, / = |
1, |
2, . . . ). |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Полученная из (26.1) при замене функций Pk,\(t) на постоян ные pk,j система алгебраических уравнении (26.3) содержит беско нечное число искомых вероятностей Рк,\ {&, У= 0, 1, ...). Решение этой системы будем искать с помощью производящей функции
О (И, V) = 2 jSjPk.jW'V ,
k=0 j=0
которая удовлетворяет следующим условиям:
|
|
|
0 (1 , 1 ) — 1 ; |
|
|
|
|
|
со |
|
G(u, |
\ )~ |
2 л и к ; |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
00 |
|
o ( i , |
v ) = |
'Lp W, |
|
где |
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
II .ъ |
|
|
О 11 |
|
1 |
= |
k=0 |
|
( / = 0, 1 , . . . ) , |
|
|
|
||
(26.4)
(26.5)
(26.6)
(26.7)
(26.8)
(26.9)
причем рк является вероятностью |
того, что в системе |
находится |
/г требований из первого потока, а |
р* — вероятность того, |
что в си |
стеме имеется / требований из второго потока. Чтобы получить аналитическое выражение для производящей функции G(h, v) , умножим общее уравнение системы (26.3) на u^vs и просумми руем результат умножения по всем возможным значениям k и у.
196
Т о гд а п о л у ч и м
(4+ 4 + Pi) G(и, v)+ (р2—ji,) 2 Po,iV>—р2р0,о=
|
j=o |
00 00 |
оо оо |
4 2 2 Pk-uuW 4 4 2 2 Pk.i-iu^ + |
|
к=1 J-0 |
' k-OJ-1 |
+ i*i 2 2 Pk+ijaV 4 р22 po.i+ivfy |
|
к=0 i=0 |
i=0 |
что можно переписать в виде |
|
(4 + 4 4 1*т) G {и, v)+ (р2—Pi)G(0, v) —ji.2G(О, 0) = |
|
= 4«G (и, v)+ ).tvG(и, v) + |
[О(«, v) ~ G(0, г;)] 4 |
4 ~~ [G(0, v)- 0(0, 0)].
Разрешая это равенство относительно G(u, v), приходим к следую щему выражению:
Г,(и |
-Л- |
KPi |
— |
+ |
G(0, v) + y*2ti{v - |
1)G(0, 0) |
|
’ |
^ |
|
(4-f-\2+ p-j) |
ни—XjM2i;—\2av2—y-iV |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(26.10) |
Приравнивая знаменатель ' этой функции к нулю, получаем |
|||||||
квадратное уравнение относительно и: |
|
|
|||||
|
|
и2----14 4"4 (1 —v)4 P-i3иН—5“ |
= 0. |
(26.11) |
|||
Корни этого уравнения |
|
|
|
|
|||
м1,2 — |
1 |
|
4 ( 1 — |
+ P-i] + V [4 4 4 0 |
— ,^)H-Pi]2 — 4Х1р-1} . |
||
2 4 " |[4 + |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
(26.12) |
|
[(IV—Рг)uv—Pi^ 4-р2«] G{0, v) 4-р2и (v—1) О(О, 0) |
||||||
G (и, v) |
|||||||
|
|
|
|
4^ (w — Щ)(и — и2) |
(26.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В рассматриваемой системе требования из первого потока об служиваются так, как будто второго потока требований не суще ствует. Условие существования стационарного режима для системы
с ожиданием записывается в виде 4 < 1, т. е. Ai < pi. Для сиPi
197
стемы с наличием приоритетного потока требований условие ' су ществования стационарного режима записывается в виде
|
Hi |
< 1 . |
(26.14) |
|
И2 |
|
|
Когда 0 |
наименьшего значения |
функция ui = u1(v) |
|
достигает при v — 1 , причем
и\(1) = "тщ- [(^i + Hi) + (Hi ~~ ^i)] — - у - > 1 •
Функция «2 = « 2(^) при 0<[г» < 1 с увеличением v возрастает; ее максимальное значение
|
|
|
н 2 (1) = |
[(^1 ~Ь Hi) — (Hi |
М ] |
= |
1 • |
|
|
|||
Наименьшее значение функции u2(v) |
принимает при о = |
0, причем |
||||||||||
«2 (0) ~ |
[ |
Л |
+ |
^2 + Hi) - |
/ |
(К + |
Ъ + |
Ъ)3- |
^ |
] |
^ |
< 1. |
Производящая |
функция |
G(h, v ) |
при |
и= и2 не может обра |
||||||||
щаться |
в |
бесконечность. |
Следовательно, |
при |
и = и2 |
числитель |
||||||
в (26.13) |
должен обращаться в нуль. Исходя из этого, |
находим |
||||||||||
|
|
|
G (0 |
v ) = |
Н2«2(1 — ®) G(0, 0) |
|
|
|
(26.15) |
|||
|
|
|
|
(Hi |
Иг) «г® — Hi® + Нг«2 |
|
|
|
||||
Подставляя (26.15) в (26.13) и сокращая числитель и знаменатель на и — и2, приходим к равенству
G (и, |
v ) ~ |
___________И1И2 (1 — v ) G |
(0, 0)__________ |
(26.16) |
|||||
|
|
|
— X, (а — Й1)[(!!■! — р2) «г® — Hi® + |12й,] |
|
|||||
При |
п = 1 |
производящая функция не может равняться нулю. |
|||||||
Следовательно, |
знаменатель |
в |
(26.16) обращается в нуль при |
||||||
w = l. Чтобы убедиться в этом, |
воспользуемся уравнением |
(26.11), |
|||||||
с помощью которого находим |
|
|
|
|
|||||
|
|
(и2— 1 )([!■! — Aj и2) = |
JJ-1и, — 1^ + >пм2 — Xj«22 = |
|
|||||
— |
HiM2 |
Hi ~ XjM2 -ф { [Xj -f- Х2 (1 |
v) 4- ;xj ] к 2 — P i) = |
|
|||||
Тогда |
|
|
|
= |
— |
Х.щ, (1 — |
v). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Hi — |
И2) ^2® — Hi® + |
H2«2 = И2«2 (1 — ®) + Hi® («2 — 1) — |
|||||||
|
|
|
= Н2И2 (1 |
|
|
|
И1Х2тш2 (1 — у) |
|
|
|
|
|
— ®) — |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Hi |
|
|
|
|
|
H2(l |
— ®)«2(1 — ai«2 " - g 2t>) |
(26.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
o^itV2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
198
где
|
|
|
|
|
«1 |
к . |
■ |
|
«2 |
|
^2 |
|
|
|
|
|
(26.18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
IV |
' |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Pi |
ГЦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как согласно (26.11) U\U2 = |
= |
1 |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|||||||||
т— |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/м |
|
, |
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(и — их) щ — ии2 |
|
|
|
|
|
----- (1 — алии2) |
|
(26.19) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 1 |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (26.17) и (26.19) выражение |
(26.16) |
можно |
представить |
||||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
(1 |
- |
адИ2) G (0, |
0)______ |
|
|
||||||||
|
|
G(u, |
v) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(1 — ajMW2) ( l — atu2— o.2v) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Полагая в этом равенстве и= |
v = |
1, получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 (1 , 1 ) = 1 |
= |
|
О (0, |
0) |
|
_ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 — «! — а2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, искомая производящая функция |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Гт(„ |
-л |
|
|
(1 — а, - |
|
a2)[l — o-jU2{v)\ |
|
|
(26.20) |
|||||||||
|
|
' ’ |
' |
|
[1 — а,ми2(г))] [1 |
— а2п — а{и2(г»)] |
’ |
||||||||||||
где |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«г(®) = |
- 2ХГ ^ |
|
+ |
l°- (1 “ |
v ) + |
|
~ |
|
|
||||||||
|
|
|
- |
/ |
К + ^ ( 1 - ^ |
) |
+ |
Р1]2 - 4 Х 1ц1 |
1. |
|
(26.21) |
||||||||
Зная производящую функцию, вероятность рk.j нахождения си |
|||||||||||||||||||
стемы в состоянии |
Ck.j можно |
определить по |
формуле |
|
|||||||||||||||
|
|
__ |
1 |
<?k+jG («, |
v) |
|
|
|
|
(k,j = |
0, |
1 , . . . ) . |
(26.22) |
||||||
|
■^k,i |
k\\\ |
|
du^dv1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Расчеты |
упрощаются, |
если |
кроме (26.22) использовать соотно |
||||||||||||||||
шения (26.3). Действительно, согласно (26.3) имеем |
|
|
|
||||||||||||||||
Рк+1,0 — |
(^1 ~Ь ^2 “Г Pi) Рк,0 |
а1/?к—1,0 |
|
(&= 1, |
2, ...). |
(26.23) |
|||||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При известных Ро,о и р\,о |
с помощью |
рекуррентного соотношения |
|||||||||||||||||
(26.23) |
можно |
найти |
вероятности |
/?ti+i,o |
при |
любых |
значениях |
||||||||||||
k ^ 1, |
Для |
вероятностей ро,о |
и рi,o |
согласно |
(26.22) |
справедливы |
|||||||||||||
выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ро,о = |
0(0, |
|
0 )= |
1 — ai |
« 2; |
|
|
|
(26.24) |
||||||
|
|
Р\,о |
|
dG{u, |
0) |
|
|
|
(1 |
|
«1 |
а2)®1^2 (0)- |
(26.25) |
||||||
|
|
|
du |
|
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
и — О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
199