Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 237
Скачиваний: 0
Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива нием требований, согласно (24.19)
простоя &Пр = 0,3. |
требований |
из первого |
потока |
|
Математическое ожидание^ числа |
||||
в очереди на обслуживание z = p± = |
0,133. Математическое ожида- |
|||
|
— |
Z |
\ |
0,067. |
ние времени ожидания начала обслуживания ^оЖ= — = |
--- ~ |
|||
|
|
л, |
1о |
|
Вероятность обслуживания любого требования
Вероятность того, что требование из первого потока покинет оче-
&Z
редь, Рп.оч = — = 0 ,1 . Вероятность обслуживания любого требоваaf
ния из первого потока
§ 25. СИСТЕМА С ОТКАЗАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ПРИОРИТЕТНОГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ
В системе с отказами имеется п одинаковых приборов обслужи вания; мест ожидания нет. Пусть на вход этой системы поступают1 два независимых простейших потока требований с интенсивно стями Я] и Яг соответственно. Время обслуживания любого требо вания случайное, имеющее показательное распределение, причем для первого потока — с параметром pi, а для каждого требования из второго потока — с параметром ргЕсли свободен хотя бы один прибор обслуживания, то любое поступающее в систему требование начинает обслуживаться сразу. Когда все приборы заняты, очеред ное требование из второго потока получает отказ и потому остается необслужеиным. Если обслуживается п требований из первого по тока, то поступающее требование из этого потока также получает отказ в обслуживании. Когда среди обслуживаемых п требований имеется хотя бы одно требование из второго потока, поступающее требование из первого потока с вероятностью р начинает сразу об служиваться вместо одного из требований из второго потока, кото рое уходит из системы недообслуженным. При р = 1 требования
186
из первого потока имеют над требованиями из второго потока «аб солютный приоритет». В этом случае требования из первого потока обслуживаются системой с отказами так, как будто требований из второго потока не существует. Если р — О, то потоки требований равноправные, и потому все попадающие в систему требования вы ходят из нее полностью обслуженными.
Пусть состояние Ck,j означает, что системой обслуживается k требований из первого потока и j требований из второго потока.
При этом |
О k + |
j п, |
а общее число состояний равно |
С'2п ■ Ве |
роятности |
Pk,j [t) |
(0 < ^ + |
j п) нахождения системы |
в указан |
ных состояниях являются решением следующей системы дифферен циальных уравнений:
Ро,о (0 = |
- |
(>ч + |
h) Ро»(0 + |
|
!*1 Л,О (t) + |
1(ty, |
||||||||
К . О(0 = |
- - (К + Ъ + |
къ) рк,0 (t) + |
^Pk-1,0 (t) + |
|||||||||||
|
|
-j- |
( k |
-|- 1) 'Aj Р k+1,0 (t ) 4" !a2 P k. 1 (t) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
[1 |
Ю |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
Р'п,0 (t) = |
|
r t [ i, P n,o (^) |
+ 0 |
P n— 1,0 ( t ) |
4 " P ^ 1 P |
П - 1,1 |
(ty, |
|||||||
р 0 , |
{ t ) ~ = |
— |
(),J |
- j - |
X2 4 " |
/Р 2 ) |
P o ,j |
( t ) |
~ b |
^2 |
^ 0 , j - l |
( t ) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ' |
( / |
+ |
1) P -a ^ o j+ i ( t ) |
-f- |
|
i,j |
( t ) |
|
|
|||
|
|
|
( / - |
1, 2 , . . |
. , n — 1 ) ; |
|
|
|
||||||
Р'о,п (t) = |
— |
(P ^ t |
4 \ h ) |
( t ) |
X2 P o,n— i ( t ) \ |
|
||||||||
Р 'ьа - k (* ) |
‘— — |
|
- f - |
|
|
|
— |
k ) |X2] |
P k,n— k ( 0 |
+ |
||||
+ Р~>чРк-- l , n — k-t-1 (t) 4 “ X jP k — l,n—k ( t) |
“ Г |
X2P k,n -- k - 1 |
(t) |
|||||||||||
|
|
|
( k = |
1 , 2 , . . |
. , n - |
1 ) ; |
|
|
||||||
Р 'Н |
( t ) = |
— |
|
- f - |
X2 4 - & P ; |
4 - |
j \ l2) |
P k ,j (t) + |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4"^l^>k-l,j (t) |
+ |
^'2 Pkj—l (t) + |
{k + 1) Pi^k+I.j (t) 4~' |
|||||||||||
|
|
|
|
+ |
(/ + |
1 ) P2^k.i+l (0 |
|
|
|
|||||
|
|
( £ > 1 ; j > 1 ; k + j < n - 1 ). |
|
|
||||||||||
Общее число уравнений в этой системе равно С2а. Решается данная
система линейных однородных дифференциальных уравнений с по стоянными коэффициентами известными методами. Если при t — О система массового обслуживания находится в состоянии С о , о , т. е. требований в системе нет, то начальные значения искомых функ ций следующие:
Р о , о ( 0 ) = 1 ; |
P k , j ( 0 ) = 0 |
( 1 < £ + / < « ) . |
( 2 5 . 2 ) |
187
Зная вероятности P^(t), можно найти вероятность Рк (t) того, что в момент времени t обслуживается k требований из первого по тока. При этом используется равенство
|
(Л= |
0, |
1..............я). |
(25.3) |
||
|
j=o |
|
|
|
|
|
Если Р* (t) — вероятность того, |
что |
в |
момент t |
обслуживается |
||
/ требований второго потока, то |
|
|
|
|
|
|
P*(t) = |
ni>Pk,j(t) 0 = |
0, |
1, . |
. |
п). |
(25.4) |
J |
k=0 |
|
|
|
|
|
Поступающее в момент времени t требование из второго потока получает отказ в обслуживании, если при этом заняты все п при боров обслуживания, т. е. если система находится в состоянии Ск,п-к (к — 0, 1, .. ., п). Поэтому вероятность принятия к обслу живанию требования из второго потока
|
Робсл(0 = |
1 - 2 |
Р м -k W . |
(25.5) |
|
|
k=0 |
|
|
При р = |
0 вероятность Робел(t) обслуживания поступающего |
|||
в момент t |
требования из |
первого |
потока |
совпадает с Робел (£)■ |
Если р — 1, |
то требование из первого потока |
получает отказ в об |
||
служивании только при наличии в системе п требований из пер вого потока. Следовательно, вероятность обслуживания требования из первого потока (при р — 1 )
Робел (*) = 1 — Pn.O (t). |
(25.6) |
Когда Р — 1, одно требование из второго потока останется недообслуженным, если в систему поступит требование из первого потока при наличии там хотя бы одного требования из второго потока. Вероятность Рчаст (t) частичного обслуживания одного требования из второго потока вследствие поступления в систему в момент t требования из первого потока находится с помощью равенства
П—1 |
|
Рчаст ( 0 = 2 Ркп -А*). |
(25.7) |
к=0 |
|
В общем случае для рассматриваемой системы массового обслу живания предельные вероятности pK,j различных состояний си стемы находятся как решение системы алгебраических уравнений, которая получается из (25.1) при замене функций Pk,j (t) на по стоянные /?k,j (0 к -f- j < п). Эти уравнения записываются в виде:
188
(kj -f- ^2)Po.o= V-iPw + V-iPo.x>
(^1 + X2 4~ £^1) Pk.Q — ^lpk—1,0 4" (£ -f- 1)V-iPk+Xfi 4" V"2pk,\
(£ = 1 , 2 , . . . , n — 1 );
ПРхРпА — ^\Pn—1,0“l- p"^\Po.—\,l ’
Q'l + ^2 + /V2) P0.i = ^2^0,j-1 4" (/ 4” 1) У-гР^Л+Х 4“ fAl/,l.j
(/ = 1 , 2, . |
. |
. , л — l); |
|
|
|
|
(25.8) |
(jPX1 4~ ^^2) P0,o ~ ^2^0,n-l j |
|||
\p\-\-kp\ 4- (n —£) £i2]/? k ,n - k = |
/ ^ i / 7 k - - l, n - k + l + |
||
4 - \ р к —l, n - k 4 ~ ^ г / 7к ,п - к — 1 |
|||
( £ = 1 , 2 , . |
. |
. , П — |
1 ) ; |
(A] 4-X 24- £jJ-! 4- /«•■j) Pk,i — Xi/^k—l,j 4“ ^2Pk,j-l 4“
-(- (£4-1) н-i/’k+i.j 4" (/ 4-1)
( £>■1 ; / > 1 ; £ + / ^ я — 1 )•
К данным соотношениям добавляется условие нормировки, кото рое имеет вид
2 2 / > n j = l . |
(25.9) |
k=0 j-0 |
|
Решение алгебраических уравнений (25.8) и |
(25.9) при лю |
бом п очень громоздко. Ограничимся получением явных выраже ний для предельных вероятностей применительно к одноканальной системе, т. е. при наличии в системе только одного прибора обслу живания. В этом случае равенства (25.8) принимают вид:
(Xi + |
PiPi,o4" НРол ; |
|
l1!Р\,0 ~ |
"^lPofl 4” Р\Р0Л > |
(25.10). |
{р\ 4- р2)Рол = ^zPo,o • |
|
|
Из этих соотношений находим: |
|
|
|
|
п — ^ ^ |
4- Х2) 4- р2| „ |
(25.11) |
||||
Р°Л~ рК + ?2 |
Ро’° |
Рг'° |
Р-х ( А + |
14) |
Ро’° |
|||
‘ |
||||||||
Так как согласно |
(25.9) |
Po,o^rPo,i~^Pi,o— 1» то |
расчетные |
формулы |
||||
для предельных вероятностей следующие: |
|
|
|
|
||||
189