Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 236
Скачиваний: 0
__ ____________t*i (ph 4~ 1*2)_____________.
Pofi ~ |
x1[p (Xj -f- x2 -f- {j-i) + |
^2] + |
t4(x2 + F2) ’ |
___________ xt [p (^14~ x2) ~Ь fe]________ . |
|||
Pl’° |
' Xj [p (Xj + X2- f j*j) + |
^2] + |
Pi( X2 + (*2) ’ |
__ ________________ X2P1 |
|
__________ |
|
•^0'1 |
Xj \p(Xj + X2 + f*l) + |
t*2] + |
P-1 (^2 + (Ч) * |
Если p = 1, |
то формулы упрощаются и принимают вид: |
||
________Р-г (^i Ч~ Р2) |
р |
_ |
|
Ро-° |
+ ^ + |
|
1,0 *i + Pi ’ |
_ ________ X2Pl________ |
|
|
|
0,1 |
(^i + Pi) (^1 + ^2 + Р2) |
|
|
Система дифференциальных уравнений (25.1) при п сывается в виде:
(25.12)
(25.13)
1 запи-
Р'0>0№ = |
~~ (^i |
+ |
Х2)Ро,о |
"Ь Л |
№ ~Ь РгЯад |
> |
(25.14) |
|||
p'lfi (t) = |
- |
у-а |
» V) + |
^ |
0,0 (0 + рх1ролw ; |
|
||||
|
|
|||||||||
^ |
(О = |
- |
( А + |
1*2) р од (t) + i 2p 0,oV) * |
|
|
||||
причем согласно (25.2) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А,о (0) = 1 ; |
А,о (0) |
= Род (0) = 0. |
|
(25.15) |
|||
Частное решение системы (25.14) |
имеет вид: |
|
|
|||||||
|
Р0,о (t) = |
Ае* ; |
Pi,o(t) = Ве^ ; Я0д (* )= |
Свт* . |
(25.16) |
|||||
Подставляя эти выражения в |
(25.14) и сокращая на £7^ |
приходим |
||||||||
к равенствам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(Xj -f- Х2-ф- 7) А — У\В |
Р-2^ ~ |
|
|
|||||
|
|
- |
М |
+ |
(1*1 |
+ т ) |
в -Р \ С = ° ; |
|
(25.17) |
|
|
|
|
— Х 2Л 4 - (рХj |
р 2 ~ Ь к) с |
|
|
||||
Данные |
однородные |
алгебраические |
уравнения относительно А, В |
|||||||
и С имеют ненулевое решение только в том случае, если равен нулю определитель Д, причем
Xj + |
Х2 + 7 |
— jij |
— Р2 |
1 |
1 |
1 |
д = |
- X j Pi + T |
- p X j |
= 7 — Xj (*j+ 7 |
—рХ2 |
||
|
х2 |
0 |
pXj - f [*2 + т |
— Х2 |
0 |
pXj+[*2+ 7 |
190
Раскрывая |
определитель, получаем |
характеристическое |
уравнение |
||||||||||||
|
|
д = 7 1т2 + 7 (M i ~Ь ^ 1 + ^ 2 + {J-i + Р2 ) + |
|
||||||||||||
|
“Ь [Pi (M i + |
P2) + M М + |
рМ ~Ь |
(Mi + |
Р2)]} = |
О. |
|||||||||
Корни этого уравнения следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Го = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
И,2 ~ 0,5 [— |
( M l +^1 + ^2 + P i + Ра) ± |
|
|||||||||||
|
|
± V (M i — Х 1 |
— h —Pi + |
Р2 ) 2 + 4^2 (р2 |
— Pi)] |
• |
|||||||||
Если Р — 1, то |
Yi = |
— (Л1 + |
Ц1); Г г = — (?ц + |
Лг + цг). |
|
||||||||||
Решение системы дифференциальных уравнений (25.14) запи |
|||||||||||||||
сывается в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P0Q{t)=--A0 + |
A ^ l + |
A2e^, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Pl o ( O = 5 0+ |
5 1M t+ |
5 2M t ; |
|
|
(25.18) |
|||||||
|
|
|
P0tl(t) = |
C0 + |
C1e"' + |
C2e'*, |
|
|
|
||||||
где A], |
Bj, |
Cj (j = |
0, |
1 , |
2 ) — произвольные постоянные. |
|
|||||||||
Так |
как Ti < |
0 и Тг < |
0, то из |
(25.18) следует, что А0= рол |
|||||||||||
В0—р ] 0, С0= р 01. Учитывая начальные условия |
(25.15),из (25.18) |
||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л + Л ,= |
1 — р0 0 ; |
В{ + В2 = — рх0 ; |
|
С\ + |
С2 |
р 01 . |
(25.19) |
||||||||
Используя |
второе и третье уравнения из (25.17), находим: |
||||||||||||||
^ |
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
Г1 ~г И > |
|
(25.20) |
|||
|
Л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
4, 2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А\ |
Ао |
— |
[(M i + |
Р2 ) (М + |
С2 ) -f- (fiC , -f- Т2 С 2 )] |
|
||||||||
|
|
|
|
Art |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
у |
[ ( T iQ |
+ |
Т2С 2)'— (Ро |
’ |
1М 1 + Р2 )] ■ |
|
|||||
|
|
|
|
Ло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения постоянных |
С\ и С2 получаем уравнения: |
||||||||||||||
tM i + Т2 С2 = |
^2 (1 — р 0<0) + |
Mi (Mi + |
|
Р2); |
Q |
+ с 2= — M i • |
|||||||||
191
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С\ — ----------- [^2 (1 ---Pofi) + / 70,l(T2+ |
P s+Z^l)]’» |
|
|
||||||||||
|
|
|
Tl — 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С г — —-------— |
P'2 (1 — |
Po,o> + |
/ ,o,l (Ti + |
Н*2 I |
P ^ i)] • |
|
|
||||||
|
|
|
Tl -- T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
_1_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ( p K + f-2 + |
Ti) ^ i ; |
^ 2 |
— Y~ (P^t “b P2 + Тг) C-i ; |
(25.22) |
||||||||||
|
*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вx |
|
(A |
+ |
p c i); |
|
B2 = |
Pi + |
T2 |
(Л2 |
pC2). |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
P-1 + |
Tl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, для всех |
постоянных |
коэффициентов |
из |
(25.18) |
||||||||||
получены расчетные формулы. |
|
|
|
|
|
формулами: |
||||||||
Если Д = 1, то искомые вероятности определяются |
||||||||||||||
роо (*) = |
|
Роо+ |
|
Г |
Cie-b+M*— С2е~^+^+^ ; |
|
|
|||||||
’ |
|
|
’ |
|
л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(25.23) |
p i.o(0 = /»i,0 [i |
- в - ^ + ^ Ч ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P0l |
(t) = |
р01 + |
C1e-<Xi+|*‘H -f С2е - (Х1+Ха+11а)|;, |
|
|
|
||||||||
причем предельные |
вероятности |
p0fi, |
plfi |
и р01 находятся |
с по |
|||||||||
мощью |
(25.13), а для Ci |
и С2 справедливы равенства: |
|
|
||||||||||
|
С1 |
= |
__________ 4^2_________ |
|
|
|
|
|
||||||
|
Он + |
Pi) (^2 |
|
Рг |
Pi) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(25.24) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
I1! |
|
|
|
*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ч + |
Pi |
1 ^i + |
^2 + |
Рг |
Ч 4" Рг — Pi |
|
|
||||
С помощью функций (25.23) можно определить различные ве роятности. Например, вероятность Po(t) того, что в момент t не производится обслуживание требования из первого потока, полу чается следующей:
Ро (t) = |
Po'flV) + Рол (0 |
= |
т - 1 1- - |
+ -т~г— e-<x>+e,)t. (25.25) |
|||
|
|
|
|
А1+ |
Pi |
А1 “Г Pi |
|
Вероятность |
Рi (t) |
того, что |
обслуживается требование |
из первого |
|||
потока, |
|
|
|
|
|
|
|
Рх (t) = |
Рио (t) = |
, |
Х!_ |
(1 - |
е~Р‘+ ^ 1). |
(25.26) |
|
|
|
|
Л1"ГPi |
|
|
|
|
192
Вероятность того, что в момент t обслуживается требование из второго потока, совпадает с Po,i(t), Для вероятности P*Q(t) того,
что в момент t системой не обслуживается требование из второго потока, получаем
р*0(t) = 1 - Род (*) = Ро,0 (*) + P i,о (t) =
Pi (Хх + |
ц2) |
xt (Xt -j- |
+ |
fe) |
C e-Pi+m) t — |
C0e~ |
|
(*1 + |
fh) (^1 + ^ 2 + |
^2) |
|
||||
|
|
|
(25.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность того, что поступающее в момент t требование из |
|||||||
первого потока получит отказ, |
совпадает |
с Pi,o(t), |
а вероятность |
||||
обслуживания этого требования |
|
|
|
|
|||
|
^ |
( 0 = |
1 - Л , о (t) = |
p0{t). |
(25.28) |
||
При установившемся режиме функционирования системы вероят ность обслуживания требования из первого потока
^ « с л = “ т Я обсл(*)= |
Hi |
(25.29) |
л |
||
t-~ |
'^1Ч + |
Hi |
Вероятность Р част {t) частичного обслуживания требования из вто рого потока (вследствие поступления в момент t требования из первого потока) совпадает с Род (t). Требование из второго потока принимается к обслуживанию только в том случае, если в системе нет требований. Вероятность такого исхода равна Ро,о (0 , а при установившемся режиме определяется первым выражением из
(25.13).
Обозначим через Ро6сл вероятность того, что принятое к обслу живанию требование из второго потока при установившемся ре жиме функционирования системы будет обслужено полностью. Для определения Р*бсл воспользуемся формулой полной вероятности в виде
p:6c* = P (A) = $ P(AIT=x)f(?)dx, |
(25.30) |
о |
|
где случайное событие А означает, что требование будет обслу жено, а /(т) — плотность распределения времени обслуживания требования из второго потока, т. е. /(т) = Ц2в ^ х. Условная вероят ность Р(А/Т = х) совпадает с вероятностью того, что за время х в систему не поступит ни одно требование из первого потока, а по
тому Р (А/Т — х) — |
• |
|
|
Искомая вероятность |
|
|
|
я :бсл = |
^ |
. |
(25.31) |
|
О |
1 “ Г Г2 |
|
13 |
193 |
Вероятность того, что принятое к обслуживанию требование из вто рого потока будет обслужено частично,
Р* = 1 |
обсл |
|
(25.32) |
част |
^1 + |
1*2 |
|
|
|
Пример 25.1. Одна телефонная линия используется для между городных и местных переговоров. Требования на эти переговоры образуют два независимых простейших потока с интенсивностями
= 0,05 1/мин и %2 = 0,2 1/мин. |
Среднее время занятости линии |
при междугородном переговоре |
— 3 мин 20 сек, а при местном |
ty., = 5 мин. При занятой линии требование на местный переговор теряется. Требования на междугородные переговоры обслужи ваются так, как будто телефонная линия предназначена только для их обслуживания, т. е. они прерывают местные переговоры и теряются, когда линия занята междугородным переговором.
Определить показатели эффективности использования данной
телефонной линии при установившемся режиме. |
Xi = |
0,05 1/сек; |
||||
Р е ш е н и е . |
В данном |
случае я = 1 ; |
р = 1; |
|||
Хг = 0,2 1/сек; |
[Xj = |
= |
0,3 1/лшк; р,2 = |
- |
= 0,2 |
1/мин. Вос- |
|
|
ty., |
|
^2 |
|
|
пользовавшись формулами (25.13), находим: вероятность того, что
телефонная |
линия |
свободна, р00 = |
; вероятность того, что про- |
исходит междугородный переговор, |
р 10= у1 ; вероятность местного |
||
переговора |
8 |
|
|
рол = ^ |
• |
|
|
Вероятность того, что междугородный переговор состоится, т. е. что телефонная линия не занята междугородным переговором,
0
•^Обсл = Ро,0 + Род ^ 1 Р\,0~ ~ f •
Вероятность того, что не происходит местный переговор,
* |
, |
1 |
13 |
Ро |
Р0,0 + P i ,О |
^ Род |
21 ’ |
Вероятность того, что начавшийся местный переговор будет закон чен без перерыва,
Р* — |
Р2 |
=--0,8. |
обсл ' ^1 + |
(*2 |
|
Вероятность того, что местный переговор будет прерван, Я*аст =0,2.
194