Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Используя определение характеристической функции для системы [^ (/1), X{t2), ... , X{tt)\ случайных величин, получаем /-мерную ха­ рактеристическую функцию случайной функции X{t) в виде

Так как одномерная характеристическая функция £i(o; t) по­ лучается из двумерной характеристической функции E2(v, v t , t') с помощью равенства

то /-мерная характеристическая функция случайного процесса с не­ зависимыми приращениями при любом / определяется через дву­ мерную характеристическую функцию. В свою очередь, характери­ стическая функция E2(v, v'\ t, t') и двумерная плотность распре­ деления f2(x, х'; /, Е) связаны равенствами:

Следовательно, случайный процесс с независимыми приращениями полностью определяется двумерной характеристической функцией или двумерной плотностью распределения.

Для любой случайной функции /-мерную плотность распределе­ ния можно представить в виде

вычисленной в предположении, что в предшествующие моменты времени th t2, . .. , ts функция X{t) была равна хи х2, ... , xs соот­ ветственно. Указанная зависимость означает наличие вероятност­ ного последействия со стороны ранее принятых значений.

Случайная функция X(t) называется непрерывным марковским случайным процессом или процессом без последействия, если при каждом s > 1 для условной плотности распределения случайной величины X(tS+1 ) при любых значениях хи х2, ..., x s случайных

По определению для марковского случайного процесса закон рас­ пределения функции X(t) в момент ts+l зависит только от значе­ ния x s ординаты X(ts) этой случайной функции в момент / а и не зависит от хода процесса при 7 < £ s (s = l T 2, ...). Если считать ts настоящим моментом, то для марковского случайного процесса распределение ординаты X(ts+i) в будущий момент времени / s+i полностью определяется значением xs ординаты процесса в настоя­

то /-мерную плотность распределения для марковского случайного процесса можно представить в виде

f i [ x i t Х 2, . . . , • £ /, t\i to, . . . , tj) =

Одномерная плотность распределения fi(x; t) через двумерную плотность распределения выражается формулой (27.6). Следова­ тельно, /-мерная плотность распределения марковского случайного процесса при любом / однозначно определяется через двумерную плотность распределения /г (я, х'\ /, /').

210

Когда одномерная плотность распределения fi(x; t) зависит от /, однородный марковский процесс не является стационарным. Если же одномерная плотность распределения f(x; t) не зависит от вре­ мени t, то из (27.30) следует, что однородный марковский случай­ ный процесс стационарный.

§ 28. ПРОЦЕСС БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Фундаментальную роль при изучении непрерывных марковских случайных процессов играет хтроцесс W (/) броуновского движения, пли винеровский процесс, который также является непрерывным марковским процессом. Броуновским движением называется дви­ жение взвешенной в жидкости достаточно малой частицы под дей­ ствием соударений с находящимися в хаотическом тепловом дви­ жении молекулами жидкости. При вероятностном изучении этого явления скорости молекул, с которыми соударяется рассматривае­ мая частица, считаются случайными. Предполагается, что жидкость неподвижная однородная с постоянной температурой, а потому распределение скорости пе зависит от положения молекулы. Ско­ рости различных молекул, считаются взаимно независимыми, инер­ ция частицы не учитывается. При таких условиях смещение ча­ стицы из любого положения за заданный промежуток времени не зависит от ее исходного положения и движепия до этого положе­ ния. Непрерывным марковским процессом при этом является абс­ цисса W (t) рассматриваемой частицы в момент t. При указанных выше предположениях о жидкости математическое ожидание слу­ чайной функции W(t) постоянно. Если начало координат принять совпадающим с исходным положением частицы в начальный мо­ мент времени t = 0, то 1)7(0) = 0 и w (t) = 0.

Дискретным аналогом броуновского движения является модель одномерного случайного блужданпя частицы, которая меняет свое положение на оси Ow через дискретные промежутки времени, крат­ ные At (рис. 3). Изменение положения частицы происходит таким образом, что, находясь в точке ws = sAl (s = 0, + 1, ± 2 , ...), ча­ стица независимо от предшествующего движения переходит с рав-

211

За время t = пМ частица совершает случайное число Z переме­

Случайная величина Z имеет биномиальное распределение, при­ чем в силу симметрии р — Ц— 0,5, а потому

t

При любом фиксированном значении t и At -* 0 число п ~ ^

является достаточно большим. Поэтому согласно центральной пре­ дельной теореме случайное число Z положительных перемещений частицы из общего их числа п можно считать распределенным не по биномиальному, а по нормальному закону. Так как W(t) и Z связаны линейным соотношение^, то W (t) — нормальная случай­ ная функция с нулевым математическим ожиданием. С учетом ра­ венства UZ (0) = 0 можно записать

212