Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

В

рассматриваемой

модели случайного

блуждания

разности

W(t')— №(0) и

W(t') взаимно

независимы. Кроме

того, закон распределения разности W{t

— W((')

такой же,

как

для W(i)— W(0) — W(t). Следовательно, случайная функция

D[W{t +

t')] = D[W(t')]-\-D[W(t)].

(28.6)

Данное равенство возможно

только

в

том случае,

если

D[W(t)] =

bt,

(28.7)

где

Ь— положительная

постоянная,

называемая

коэффициентом

диффузии. Сравнивая

(28.7)

с (28.4), получаем

(28.8)

Обозначим

через

v

скорость

частицы,

т. е.

положим

v =

А /

fy

Так как коэффициент

= lim—г - Согласно (28.8) находим ц =

т-т .

диффузии

Ь отличен

от

нуля, то из последнего равенства следует,

что

скорость

частицы

v -►со при At —> 0-

Перемещение частицы вдоль оси Ow при реальном броуновском

движении

описывается

с

помощью

случайной

функции

W(t).

ния в любом ограниченном интервале.

1И(/)

определяется

как

слу­

Броуновский

случайный

процесс

чайная функция, удовлетворяющая следующим двум условиям:

— при

любых

фиксированных значениях t u t ' приращение

W(t + r ) — W(t')

является

нормальной случайной

величиной с ну­

левым математическим ожиданием и дисперсией

Ы, где

Ь — задан­

ная положительная постоянная;

— для

любых

непересекающихся

интервалов

(^2s-i>

^’s)

ts —

= 1, 2, ...),

где

t{ < t2

t3< ti <7 t6 ■. ., приращения W (t2s) —

— ^7(^2s- i)

(s =

1,

2,

...)

взаимно

независимы.

Дополнительно

считается,

что W7(0) =

0. Тогда W(t)

при

любом

фиксированном t

данием w (t)~ 0 и дисперсией D[W(t)] = bt.

Так как W(t") =

= W(t') + [W (t" ) - W (t')l причем, когда t"> t',

W(t') и [W {t" ) -

— W(t')] взаимно независимы, то корреляционная

функция для

W(t) следующая:

Kw (f', t") = M[W{t')W(t” )] = MyW(t')Y} =

bt'.

(28.9)

ности i" — t', броуновский

случайный

процесс

W(t) не

является

стационарным даже в широком смысле.

процесса

при любых t u t '

Согласно определению броуновского

разность W(t-\-t')— W(t')

не зависит

от аналогичного

прираще­

означает, что

при известном

W(t') — w'

никакая дополнительная

информация о

поведении W (t) при t <

t'

не влияет на

разность

W(t -f- ?) —- W(t'). Но

тогда

при

ti < t2<

... < ts < ts+l

справед­

ливо равенство

, P [ W { t ^ ) < w ^ l W { t x) < w u

У ( « < » 2 ........

1=

'

--- Р

(^S+l)

®s+l,lW(ts) < w s],

(28.10)

F {w s+l;

4-м/®п Щ, •••,

;

tu t2, . . . ,

*,) =

= F(wt+1; ts+ljw&; Q .

(28.11)

Данные

равенства

справедливы

при

любых

t\ < t2 < ...

< ^s+i и

s ^ 1.

Следовательно, процесс

броуновского

движения

является

марковским случайным процессом.

для

W (/)

как

для нор­

Одномерная плотность распределения

1

w-

(28.12)

М ® ; *) = У 2

2bt ,

тМ

ные величины Y\ и У2 независимые

нормальные,

причем У\ —

— 1/2 = 0; oyi = Y~bt;

= У b (t' — t).

Плотность

распределения

этой системы

М Уь Уг) ~ /у, (уД /уа(у2) —

-

I

IJ

?

v2

1

+ ,.!l

2b L t*

+ t’-t

(28.13)

214

2т.Ь Y t {Г — t)

t

Искомую двумерную

плотность распределения для W(t)

найдем

с помощью формулы

f2(w, w',

t,

t ' ) = f y ['■!>,

(w,

«О , 'M ^ j W')] |/|,

(28.14)

где

=

w ') = w ;

y2 =

y 2(w,

w ')= w ' — w;

дЬ

dw

dw'

1 .

1=

=

д$2

d'h

Тогда

dw

dw’

1 fw3

/ 2 (w, w'; t,

t') =

1

.

(28-15)

— t)

2кЬ-\f t ( f

С помощью (28.12)

и (28.16) для s-мерной плотности распреде­

ления процесса броуновского движения при t\<

t2<

... <

ts полу­

чаем следующее выражение:

М ® /„

tu

t2, .. . ,

tt) =

= M ® i ;

ti) П / ( * , ;

; ^i-i) =

j=2

s

(w . — W.

)2

1

1 v

v 1

J~ 17

,e

2b ,-*-J

t —t.

(28.17)

S

j=i

1

1 1

bY (2K) 2

у n

j=l

4 ( 0

= 0;-

D{W,(t)\= р -*Д =| -.

(28-19)

Чтобы найти корреляционную функцию

(t,

t')

для

^ д(0> вос"

пользуемся равенством

W^t) Wi (t')=: ~ [ W ( t +

A)W(t' +

A ) - - W ( t ) W ( t '^ А ) -

-

W {t - f

A) w (f) + w (t)W(t')].

(28.20)

Учитывая формулу (28.9), при t'

t -f Д получаем

K„A(t, П = M [W, (t) W, (П] = J r

Ut +

Д) -

t -

(t +

A) +

t\ = 0.

Аналогично при i >

t' -j- Д находим

(28.21)

(t,

*') =

J r [(*' +

д) -

(*' +

A) -

t' + t'\ =

0.

(28.22)

Если t <

f < t -f- A,

to

K ,t (f, n -

£

w + i ) -

1 - V + 1\=

| r (4 +

< -

n

(28.23)

Когда f

^ <

f + Д, аналогично получаем

* 4 &

Г>=

+ A) -

* -

+ П =

J r U -

* +

0 -

(28.24)

Полагая

x —t' — t,

равенства

(28.21) — (28.24)

можно

переписать

в виде

О

при

Kw (t, n =

(x)=

М >

д ;

(28.25)

д

^ ( Д - | т | )

при

[ х |<

Д.

д

5« д(“ ) = 2^ \ в_,шт/4 (х)^ 1

e~,a>z(A—|х Il)dt.

— со

Z{t) = \imW,(t).

(28.27)

д-о

=

(28-28)

а потому корреляционная функция

К ^ ) = ЬЦ1).

(28.29)

Таким образом, первая производная £(/)

dW{t)

от процесса

dt