Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 223
Скачиваний: 0
х ж у обозначены значения случайной функции X(t) в моменты времени t и т соответственно, причем t. Данную функцию можно представить в виде
Ы * . У, i, x) = h(X; t)f{y; х/х; t), |
(29.1) |
||
где f(y i x/x; t) — условная |
плотность |
распределения, |
которую |
в дальнейшем будем обозначать через f(t, X; т, у), т. е. примем |
|||
f(t, х; |
т, у) =f(y; |
x/х; t). |
(29.2) |
Значения х и у будем называть состояниями некоторой физи ческой системы в моменты t и т соответственно. Тогда одномерная плотность распределения fi(x; t) является плотностью вероятности того, что в момент t система находится в состоянии х. Условная плотность распределения (29.2) является условной плотностью ве роятности того, что в момент т система находится в состоянии У, если в момент t система находилась в состоянии X. Функция f(t, X; х, у) удовлетворяет всем свойствам, присущим условным плотностям распределения, а именно:
|
f(t, X; |
х, |
у) |
> 0 ; |
|
|
|
(29.3) |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ f {t,x; |
x,y)dy = |
1; |
|
|
(29.4) |
|||
|
|
ев |
|
|
|
|
|
|
(29.5) |
|
М у ; т) = |
,f fi(x; |
t)f(t, X] Т, |
y)dx. |
|
||||
Если х — t, |
то случайная |
величина |
У= |
X (т) |
совпадает |
с |
X Ц) . |
||
При заданном значении х |
случайной величины X(t) в этом случае |
||||||||
значение у |
случайной величины |
У |
точно |
определено и |
равно х, |
||||
а потому условная плотность распределения (29.2) является |
дель |
||||||||
та-функцией, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f{t, |
х; т, y)|t_t= 8 (y — х) |
= |
О |
при |
у Ф х; |
|
(29.6) |
||
со |
при |
у — х. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вместо условной плотности |
распределения |
(29.2) иногда |
удоб |
||||||
нее использовать условную функцию распределения F(t, х; х, у), которая определяется формулой
F(t, X; X, y) = P[X(*).<y/X(t) = xl |
(29.7) |
Данная функция связана с условной плотностью распределения ра венствами:
F{t, х; |
х, |
у |
|
|
(29.8) |
У )= ] fit, |
х; |
х, y)dy; |
|||
|
|
-00 |
|
|
|
/ {t, х\ |
т, |
y ) = T y F{t’ |
х ; |
х’ у ')- |
(29.9) |
218
Условная функция распределения F(t, х; т, у) непрерывна слева относительно аргумента у и удовлетворяет следующим условиям:
lim f( 4 х; г, |
у) = |
0; |
(29 |
|
у - * ----00 |
|
|
|
|
lim.F(4 х; т, |
у ) = |
1. |
(29.11) |
|
у- ~ |
|
|
|
|
Кроме того, |
|
|
|
(29.12) |
lim f( 4 х; г, y)=UmF(f, |
х; т, у) = е(у — х), |
|||
т -.t+O |
t-*T -0 |
|
|
|
где г {у — Л') — единичная функция, |
т. е. |
|
|
|
е (у — |
0 |
при |
У< - 4 |
(29.13) |
х) ~ |
при |
у > х . |
||
|
1 |
|
||
Чтобы получить связь между значениями условных плотностей распределения при различных аргументах, проинтегрируем трех
мерную плотность |
распределения /3(^1, х2, |
ха; 4 , t2, ta) при 4 < |
|||||||||
< 4 < 4s по всем возможным значениям х2. |
Тогда получим |
|
|||||||||
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / 3 (*i, х 2, x s; |
tu t2, ta)dx2 — f2(xu лг3; tu 4). |
(29.14) |
|||||||||
--- CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
Хг\4, t3) = |
|
|
|
|
4), |
|
||||
h(xi, |
fi (X,; 4)f(*8; |
4/x,; |
(29.15) |
||||||||
а для марковского процесса X (t) |
справедливо равенство |
|
|||||||||
|
|
|
/з(*1, |
х2, ХГ, tu t2, t3) = |
|
|
|
||||
= fi(x ,; |
t\)f(x 2; |
t2/xi; 4)f(*s; k ix 2\ t2), |
(29.16) |
||||||||
то после подстановки |
(29.15) |
и (29.16) в |
(29.14) |
и сокращения на |
|||||||
/i (-4 ; 4 ) приходим к равенству |
|
|
|
|
|
||||||
3 / (х2; 4>Лй; ti) f( x 3; |
klx2-, |
t2)dx2 — f(x a- 4Мг, 4). |
(29.17) |
||||||||
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя моменты времени 4, |
4 |
и 4 на 4 |
t' и т, |
а хи х2 и х3 соот |
|||||||
ветственно на х, z и у, с учетом |
(29.2) соотношение (29.17) |
можно |
|||||||||
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (4 А-; Т, |
у ) = |
j |
/ (4 |
|
4, z) f(t', |
z; х, у) dz. |
(29.18) |
||||
Данное равенство |
называется |
уравнением |
Колмогорова — Чепмена. |
||||||||
Если проинтегрировать (29.18) по у от |
— °о |
до г/, то с учетом |
|||||||||
(29.8) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
F{t, х; |
х, |
у ) = |
j |
F(t.r, z ; т, y)f(t, х; |
t', z) dz. |
(29.19) |
|||||
|
|
|
|
— oo |
|
|
|
|
|
|
|
219
Обозначим через ms (t, х; т) начальный момент s-ro порядка разности X (т) — л(.£), вычисленный в предположении, что X(t) — x, т. е. положим
m,(t,x; |
i) = |
M { { X ( z ) - X ( t ) } sjX { t ) = x } . |
(29.20) |
Данный момент вычисляется по формуле |
|
||
|
т)= |
00 |
(29.21) |
ms{t, х; |
j {y — x)sf(t, х; г, y)dy. |
||
|
|
—- 00 |
|
Пусть, например, X(t) — процесс броуновского движения со сно сом. Дискретная модель этого процесса отличается от рассмотрен ной в § 28 модели броуновского движения только тем, что каждое перемещение частицы в положительном направлении оси Ох про
исходит с |
вероятностью |
р, |
а в отрицательном — с вероятностью |
|
<7 = 1 — р, |
причем р Ф Ц. |
Обозначим через а снос |
частицы вдоль |
|
оси Ох в единицу времени. |
Тогда за время At этот |
снос равен aAt |
||
и совпадает с математическим ожиданием перемещения частицы
вдоль оси Ох за время At, |
т. е. aAt = pAl + q{—Al). |
Следова |
|||
тельно, справедливо равенство |
|
|
|
|
|
aAt = |
(p - q )A l . |
|
|
(29.22) |
|
Вместо (28.3) и (28.4) в данном случае |
|
|
|
||
x(t)—.n(2p— l)Al = naAt = |
at; |
|
(29.23) |
||
D\X(t)]=Anpq(blY=Apq±-t {il)-. |
|
(29.24) |
|||
Так как D[X{t)] = bt, то b = - A p q ^ ~ , а А / — 0,5 |
^ |
At. Под |
|||
ставляя это выражение в (29.22), приходим к равенству |
|
||||
a/A t = |
(p - q )0 ,5 \ f у |
- |
|
(29-25) |
|
Положим Р — 0,5 + у, <7= |
0,5— Y- Тогда (29.25) |
принимает вид |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
= |
0,5aVTt |
|
|
(29.26) |
^ |
|
у b + a*At |
|
|
|
|
|
|
|
||
При At -> 0 параметр Y 0, а потому вероятности р и q положи тельного и отрицательного перемещений частицы стремятся к 0,5. Вследствие этого среднее перемещение чабтицы за конечное время ограничено, несмотря на то, что скорость частицы бесконечно большая.
220
Процесс броуновского движения со сносом отличается от рас смотренного в § 28 процесса броуновского движения только нали чием систематической составляющей, т. е. математическое ожида
ние |
процесса X(t) |
не |
равно нулю. Согласно (29.23) математиче |
||||||
ское |
ожидание этой |
случайной функции |
x(t) = at. |
По |
аналогии |
||||
с (28.16) |
условная плотность распределения процесса броуновского |
||||||||
движения со сносом при т > |
t записывается в виде |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
_ [у— х - а ( x - t ) ] 3 |
|
||
|
|
f i t , * ; |
^У) = -т |
ц = = ^ е |
2b(T_t> |
• |
( 2 9 > 2 7 ) |
||
|
|
|
|
У 2кЬ(х — t) |
|
|
|
||
Подставляя эту функцию в |
(29.21) и производя подстановку |
||||||||
|
|
|
|
у — х — а (х — t) |
|
(29.28) |
|||
|
|
|
|
|
. |
yr'b(x —t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приходим к равенству |
|
|
|
|
|
|
|||
|
m3(t, х ; х) = |
|
|
[z Yb(x — t) + |
a { x ~ t ) Y e |
1L |
|||
|
|
|
2 dz. |
||||||
Данное выражение можно переписать в виде |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
s |
к |
|
К |
|
|
|
ms (t, х; т) =: |
2 |
CsHka^b* {х — t)* |
2 |
(29.29) |
|||
|
|
|
|
|
к - 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5 = 1 , 2 , . . . ) , |
|
|
|
||
где |
через |
обозначен центральный момент порядка k для нор |
|||||||
мальной случайной величины с единичной дисперсией. Для этого момента справедливо следующее выражение:
Опри нечетном k;
_k_
2— г k + i при четном к.
уи
Спомощью (29.29) и (29.30)
ml (t, |
х; |
x) — a ( x - t ) ; |
|
пи (t, |
х; |
х) |
a2 ( t - t ) s + b ( x - t ) ; |
Щ (t, х; |
т) = |
а3 (х — t)3 -)- 3ab (х — t)2; |
|
т. |
х ; |
т) ^ а * ( х — t y + |
6а2b (х — t)3 4 3&2 (т — t)2. |
|
Полагая т = |
t -f At, получаем: |
|
|
|
|
|
limтх(t, х; t + |
М) |
|
|
|
ited |
\t |
~ а ' |
(29.30)
(29.31)
(29.32)
221