Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Аналогично процессу броуновского движения со сносом может быть построен любой непрерывный марковский процесс, являю­ щийся суммой большого числа малых приращений. Можно также любой непрерывный марковский процесс рассматривать как реше­ ние так называемого стохастического дифференциального уравне­ ния, которое содержит процесс броуновского движения в качестве «вынуждающей силы». Вследствие этого непрерывный марковский процесс называется также диффузионным. Название «диффузион­ ный» происходит от того, что с помощью непрерывного марковского процесса достаточно точно описывается диффузионное движение частицы, т. е. медленное проникновение частиц одного вещества, например жидкости, в другое при их непосредственном соприкос­ новении. Перемещение такой частицы из точки х в момент t за ма­

ное перемещение, вызванное столкновениями частицы с находящи­ мися в тепловом движении молекулами жидкости. При этом

М,[(6ц)2] = ^(/, x)At + 0(At),

где b (t, х) — некоторая функция, пропорциональная средней кине­ тической энергии молекул жидкости в окрестности точки х в мо­ мент t. Функции a(t, х) и b(t, х), характеризующие непрерывней марковский процесс, называется коэффициентами сноса и диффу­ зии соответственно. Данные функции определяются формулами:

где rri\(t, х\ т) и ш2(i, х\ т) — условные моменты первого н второго порядка, для которых справедливы выражения (29.20) и (29.21).

Условный начальный момент первого порядка тх(/, х; т) яв­ ляется средним перемещением частицы за время т — t из фиксиро­ ванного положения х в момент t в результате случайных воздей­ ствий. Из (29.35) и (29.20) следует, что функция a(t, х) является средней скоростью изменения процесса в точке х в момент t или, что то же самое, средней скоростью изменения состояния х в мо­ мент t. Условный момент второго порядка tn2(t, х; т) пропорциона­ лен математическому ожиданию квадрата изменения случайного процесса и является мерой разброса значений Х(^) относительно

222

исходного значения х. Согласно (29.36) и (29.20) функция b(t, х) характеризует скорость изменения условной дисперсии марковского процесса в точке х в момент t. Если к описанию марковского про­

характеризует интенсивность толчков. Существование предельной функции b(t, х) означает, что разброс значений процесса относи­ тельно точки х в момент t растет по диффузионному закону, т. е. пропорционально приращению времени в первой степени, как при броуновском процессе.

Выше показано, что процесс броуновского движения со сносом полностью определяется постоянными коэффициентами а и Ь, яв­ ляющимися коэффициентами сноса и диффузии, т. е. в данном

рее, чем М. С помощью условной плотности распределения равен­ ства (29.34) записываются в виде

Чтобы определить любой другой непрерывный марковский про­ цесс X(t) , необходимо знать его основные характеристики, кото­ рыми являются непрерывные функции a{t, х) и b(t, х), т. е. коэф­ фициенты сноса и диффузии. Данные функции могут быть вычис­ лены по формулам (29.35) и (29.36), т. е. они выражаются через условную плотность распределения f(t, х; т, у). Достаточным усло­ вием непрерывности любого марковского процесса X(t), кроме су­ ществования непрерывных функций a(t, х) и b(t, у ), является вы­ полнение равенства

223

|у — JC|2+8 / (t, x ; t + At, у ) d y K

Iу-* l>s

—oo

Сучетом (29.38) из (29.39) следует, что

Следовательно, при выполнении условия (29.38) вероятность боль­ ших изменений |X(f-f-At) — X(t) |, когда X(t) = x, при At —» О стремится к нулю быстрее, чем At. Нужно отметить, что предельное

поэтому его называют условием усиленной непрерывности. Согласно

чем At. Это требование применительно к системе, подвергающейся воздействию случайных толчков, позволяет рассматривать случай ■ ный процесс X(t) как непрерывную функцию, т. е. как среднее за время, значительно превосходящее промежуток между случайными толчками.

§ 30. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ И ОДНОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Коэффициент сноса a(t, х) и коэффициент диффузии b(t, х) для непрерывного марковского случайного процесса X(t) опреде­ ляются формулами:

зовать равенства:

224

При практических приложениях коэффициенты сноса и диффу­ зии обычно известны или находятся с помощью формул (30.1) и (30.2). Условная плотность распределения, условная функция рас­ пределения, одномерные законы распределения и другие функции, характеризующие непрерывный марковский случайный процесс, находятся как решение соответствующих дифференциальных урав­ нений в частных производных, коэффициенты которых выражаются через a(t, х) и b(t, х ). Чтобы получить одно из таких дифферен­ циальных уравнений относительно условной функции распределе­

имеет непрерывные частные производные первого и второго по­

где б — некоторое положительное число, а ф (х, z) — ограниченная функция, т. е. |ф (х, z) |< С < оо. Подставляя (30.6) в (30.5), с учетом равенства

и(30.8) получаем

^[/=■(*, х; х, у) - F{t — It, х; х, у)] +

кпределу обращается в нуль.

Сучетом этих замечаний и выражений (30.3), (30.4) из (30.8)

после перехода к пределу при -At —> 0 приходим к следующему диф­ ференциальному уравнению в частных производных относительно условной функции распределения:

Колмогорова, характеризует изменение условной плотности распре­

значение у ординаты случайного процесса X(t) в момент т, счи­ тается заданным. Следовательно, условная плотность распределе­ ния f(t, х; т, у) в (30.11) рассматривается как функция t и х .

Наиболее часто известно не конечное, а начальное состояние си­ стемы. Поэтому необходимо иметь уравнение, в котором условная плотность распределения f(t, х; т, у) рассматривается как функция конечного состояния, т. е. в зайгсимости от т и у, а начальное со­

226