Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 0
выражение |
для fz(z), воспользуемся |
равенством P ( Z > t — t) = |
— Р(т), т. |
е. |
|
|
Р(*) = j fziz) dz. |
(31.18) |
|
1—t |
|
Пусть для |
простоты границы области |
D >(1 не зависят от т, т. е. |
Л(т) = А, и р (т )= р , где К и р — заданные постоянные. Тогда в ре зультате дифференцирования (31.8) по т с учетом (31.16) находим
Для искомой плотности распределения fz(z) при этом получается следующее выражение:
ш = |
d m |
r d w b '^ £ ± S .d), |
(31.19) |
di |
|
||
|
T * = Z + t |
|
Таким образом, при известном решении w(y, т) дифференциаль ного уравнения (31.11) вероятность Р(т) недостижения марков
ским |
случайным |
процессом |
границ области |
в |
интервале |
от t |
до х находится по формуле |
(31.16), а по формуле (31.19) может |
|||||
быть |
определена |
плотность |
распределения |
fz(z) |
случайного |
вре |
мени Z нахождения процесса в области D\^ (с постоянными грани цами) от момента t до момента первого поглощения процесса.
Зная плотность распределения fz(z), можно определить различ ные числовые характеристики случайного времени Z. В частности,
математическое |
ожидание |
этой |
случайной |
величины |
находится |
||||
с помощью равенства |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z = J zfz(z) dz. |
|
|
|
(31.20) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Данное выражение можно преобразовать так, чтобы Z определялось |
|||||||||
не через fz(z), а через вероятность Р(т). Для этого в |
(31.20) |
сле |
|||||||
дует произвести |
интегрирование |
по |
частям, |
приняв |
H= z, |
dv — |
|||
— fz(z)dz. |
Согласно (31.19) |
f7( z ) d z = —dP(z-\-t). Следовательно, |
|||||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
z = — zP(z-\-t) Iz7 0~ + |
f P (z + |
t) dz. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Так как |
P (oo) — 0, то для z справедлива следующая |
расчетная |
|||||||
формула: |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = ^ P [ $ d x . |
|
|
|
(31.21) |
|||
236
По аналогии с условной плотностью распределения f(t, х; т, у) введем функцию w(t, х; т, у), которая совпадает с решением урав нения (31.11) при начальном условии (31.14). Соответствующее
дифференциальное уравнение для w{t, х; т, у) |
записывается в виде |
||||
d w ( t , Х \ |
Т, у) |
[а(т, |
у)w{t, х\ |
|
У ) ] - |
д~ |
dv |
|
|||
|
|
|
|
||
|
y)w V' |
х ’ т> У)] = |
°. |
(31.22) |
|
Функция w(t, х; х, у) является условной плотностью распределе ния вероятности нахождения процесса в момент т в области Dх^5 если в момент t ордината этого процесса равна х. Значение х при надлежит области D\^, границы которой для простоты будем счи тать постоянными. Начальное условие для w(t, х; т, у) имеет вид
w(t, |
х; х, y)j,=t= o ( y — х), |
(31.23) |
|||
а граничные условия |
(по аналогии с |
(31.15)) следующие: |
|||
w(t, х; х, А,)= |
0; w(t, |
х; |
т, д) = 0'. |
(31.24) |
|
Если в начальный момент t |
ордината х |
марковского |
случайного |
||
процесса расположена на границе А или ц области Пхц., то процесс будет поглощен в тот же момент времени. Вследствие этого услов ная плотность распределения непоглощенной части процесса равна
нулю при х — Х и х = |
р, |
а потому граничные условия (31.24) |
спра |
||
ведливы при А <1 л < |
у. |
|
по |
фор |
|
Зная решение дифференциального уравнения (31.22), |
|||||
муле |
|
е |
|
|
|
P{t, |
(31.25) |
||||
х; x) = ^w(t, Х-, х, y)dy |
|||||
|
|
X |
|
|
|
можно определить условную вероятность недостижения Марков- |
||
ским случайным процессом в момент т границ области |
D-,^, если |
|
в момент t ордината процесса равна х. Математическое |
ожидание |
|
z(i, х) времени пребывания случайного процесса в области |
D\р. |
|
до его поглощения, если в момент t ордината процесса равна х, |
по |
|
аналогии с (31.21) может быть определено с помощью |
равенства |
00 |
|
z(x, t) — jP(t, ■*; z)dx. |
(31.26) |
t |
|
В некоторых случаях условное математическое ожидание z(x, t)
времени достижения процессом границы |
области D ;tJ. |
можно найти, |
не решая дифференциального уравнения |
(31.22), т. е. |
не определяя |
функции w(t, х\ т, у). |
Пусть, например, |
коэффициенты |
сноса |
а(т, у) и диффузии Ь(х, |
у) не зависят от х, |
т. е. а(х, у) = |
а(у) и |
237
b(x, y) — b{y). |
Тогда |
первое |
уравнение |
Колмогорова, которому |
|
в области Diц |
также удовлетворяет функция w(t, |
X; г, у), записы |
|||
вается в виде |
|
|
|
|
|
dw(t, х; |
х, у) , |
dw(t, |
х; х, |
у) |
|
|
dt |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(31.27) |
Проинтегрировав это равенство по у от Я до д, с учетом (31.25) получим
dP{t, х; х) |
а (х) |
dP(t, х ; х) |
+ ^ Ь ( х ) |
d2P(t, х; х) |
dt |
|
дх |
|
дх2 |
|
|
|
|
(31.28) |
Если коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, то функция w(t, х; т, у) зависит от t и т как от разности т — t. Из (31.25) следует, что в этом случае вероятность P(t, х; т) зави сит не от трех, а от двух аргументов, т. е. можно положить
P(t, х ; т) = Р(х, т — t). |
При |
дР |
дР |
, поэтому |
* |
||
этом ^ - = |
— |
(31.28) |
|||||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|||
дР(х, х — t) |
, лдР (х, x — t) , Ь (х) д2Р (х, x — t) |
(31.29) |
|||||
дх |
— а(х) |
^ |
|
|
дх2 |
||
Согласно (31.26) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
г(х, t) = z ( x ) = J Р(х, |
х — t ) d x = |
jP ( x , %)d%. |
(31.30) |
||||
С учетом этого выражения из |
(31.29) в результате интегрирования |
||||||
по т от t до со. |
получаем |
|
|
|
|
||
п/ |
\ |
|
. . dz(x) , b ( x ) d 2z(x) |
|
|||
Р(х, со) — Р(х, 0) — а ( х) — |
|
v |
|
||||
|
|
|
dx |
|
dx2 |
|
|
Так как P(x, со )=M), а Р(х, |
0) = 1, то |
искомое условное |
матема |
||||
тическое ожидание z(x) |
является решением следующего дифферен |
||||||
циального уравнения: |
|
|
|
|
|
||
d2z (х) . |
2 а (х ) |
dz(x ) _ |
— 2 |
|
( 3 1 .3 1 ) |
||
dx2 |
b (х) |
dx |
b(x) |
■ |
|||
|
|||||||
В результате первого и н тегрирования находим
|
|
, Г *(*»>dx., |
|
9 |
2 f '^ d x 2 |
||
dz(x) |
|
J |
Ь (ха) |
|
J |
b (x.j) |
|
|
|
с - |
|
|
e x |
dx, |
|
dx |
|
|
|
b( x i) |
|||
где C — произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|||
Искомое условное |
математическое |
ожидание |
z(x) времени до |
||||
стижения процессом границы D |
определяется |
формулой |
|||||
' |
- 2 № d x a |
0 |
1 |
J |
Ь(х„) |
||
z ( а - ) — Cj —{—J |
Се |
.) |
b (x a) |
||||
х |
2 |
1 |
А |
X. |
dx, dx,. |
||
|
|
|
|
Ь{х,) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(31.32) |
Если начальная ордината х совпадает с граничным значением X
или р, то условное математическое ожидание z(x) равно нулю, т. е. |
|||
справедливы равенства |
|
|
|
z (X) = 0; |
г(р ) = 0. |
|
(31.33) |
Из (31.32) следует, что в этом случае С\ — 0, а |
|
||
|
2 f " 8fXa) d:i |
|
|
|
2J К* /* 1 |
|
|
b{x t) |
x, . |
dxj |
dx. |
|
|||
|
|
|
|
С = |
|
|
(31.34) |
-2 |
J b(xa) |
|
|
e |
|
|
|
dxо |
|
||
Таким образом, для условного математического ожидания вре мени достижения марковским случайным процессом границы обла
сти TV |
при независящих от времени коэффициентах сноса и диф |
|||||
фузии |
справедлива расчетная формула (31.32), |
в |
которой С] = |
0, |
||
а С определяется с помощью (31.34). |
|
|
для которого |
ко |
||
Пусть X(t) — процесс броуновского движения, |
||||||
эффициент сноса а = 0, а коэффициент |
диффузип Ь постоянный. |
|||||
Тогда в соответствии с (31.32) и |
(31.34) |
|
|
|
|
|
|
« (* ) = (* — х ) с — 1 |
(* — >02; |
c = |
i - ( t i - x ) . |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
г(х) = 1 ( х - к ) ( р - х ) . |
|
(31.35) |
|||
239