Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 219
Скачиваний: 0
стояние, характеризующееся параметрами 7 п х, задано. Такое диф ференциальное уравнение называется вторым (прямым) уравнением Колмогорова. До строгого вывода А. Н. Колмогоровым в 1931 г. уравнение это использовалось в работах физиков, поэтому оно на зывается также уравнением Эйнштейна — Фоккера, Фоккера — Планка или Фоккера — Планка — Колмогорова.
При выводе второго уравнения Колмогорова предположим, что условная плотность распределения f(t, х\ т, у) имеет непрерывную первую производную по т и первые две непрерывные производные по у. Коэффициент сноса a(t, х) пусть имеет непрерывную первую производную по х, а коэффициент диффузии b(t7 х) — первые две непрерывные производные по х. Интервал возможных значений случайного процесса А(£) обозначим через [а, р], причем в частном случае может быть а — — оо, а р = оо.
Введем произвольную непрерывную функцию Лх(г/), которая имеет непрерывные производные до второго порядка включительно,
причем х(у) = |
0 при у < а и при у > |
р. Из условия непрерывности |
|||||
функции к(у) |
и ее производных следует, что |
|
|
|
|||
|
х'»)(а) = х<»>(Р) = 0 |
(s = |
0; |
1). |
(30.12) |
||
|
|
df (t, л:; |
т , |
у ) |
пределом отноше |
||
Заменяя частную производную |
Эх |
|
|
||||
ния приращения функции к приращению аргумента, получаем |
|||||||
|
. |
df (t, х ; т, |
у) |
, |
|
|
|
|
* 0 0 - |
^ |
У |
dy = |
|
|
|
=lim-^ |
Г/(у) [/(*, х; |
т + Лх, у) — /(*, |
х; |
х, y)]dy. |
(30.13) |
||
ДтТ-*-0А I |
|
|
|
|
|
|
|
Заменив в уравнении Колмогорова — Чепмена |
(29.18) х |
на т + Ат |
|||||
и f на т, |
с учетом введенных выше границ интервала возможных |
|||
значений случайного процесса приходим к равенству |
|
|||
|
Р |
|
|
|
/ (t, X; |
х -f Ах, у) = j / (t, х; х, z) f (х, 2; |
х + Ах, у) dz. |
(30-14) |
|
Подставляя это выражение в (30.13), получаем |
|
|||
|
*(У) |
L |
i y |
|
|
ох |
|
|
|
|
|
|
|
|
а
227
3 |
з |
|
|
= lim — |
*(>')/(*, х\ X, z)/(x, |
Ъ\ х + |
Ат, y)dydz |
Лт-O Дх |
|
|
|
|
- j * (y)f(t, х; т, |
y)dy |
(30.15) |
В двойном интеграле изменим обозначения переменных интегриро вания, заменив у на z, a z на у. Тогда (30.15) принимает вид
. ( У )
= lim — |
f(t, х ; т, у) |
х (г) / (х, у; т -f- At, z) dz — у. (у) dy. |
(30.16)
Разложим функцию k (z) в ряд в окрестности точки z = y, т. е. представим эту функцию в виде
у (z) = у (у) + (z ~~ У) *' (У) ~Ь
|
|
|
+ у |
(z — у )2 х" (У) + 0 [(г - |
у)2] |
|
(30.17) |
||
Подставляя данное разложение в (30.16), с учетом |
равенства |
||||||||
|
|
|
| / ( х , у; х + Д х , z)dz = |
1 |
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df(t, х; х, у) |
dy = |
|
|
||
|
|
|
|
|
~~<h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= |
f(t, |
х; |
х, у) |
' (У) lim 1 - |
Г(г — у) / |
(х, |
у; т - f |
Дт, |
z) dz + |
|
|
|
|
Дх-0 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
+ у *" (у) ^ |
^ j (г - у)2 / (т>У; х + Ах, z) dz + |
|||||||
|
|
|
з |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
lim |
Г 0 [(z — у)2] f (х, у; х + |
Дт, г) dz |
dy. |
(30.18) |
|||
|
|
Дт-*0 ^ vJ |
|
|
|
|
|
|
|
228
По аналогии с (30.10) после перехода в (30.18) к пределу прихо дим к следующему выражению:
df(t, х-, т, у) |
dy = |
|
||
*(У) |
дх |
|
|
|
= / (f, ■*; S У) *'(У )в(>. |
У) + |
\-'"(У)Ь{х, У) dy. |
(30.19) |
|
В результате интегрирования по частям с учетом (30.12) находим:
Р |
|
|
|
|
|
|
j |
[а К |
y)f{t, |
х; |
х, у)] *' (у) dy = |
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
= — | * ( У ) ^ И Х. y )f( t,x ; х, y)]rfy; |
(30.20) |
|||||
J |
[b (t, |
У) / (*, |
■«; |
x, у)] |
-/." (у) dy = |
|
= |
|
д2 |
|
у ) / а . |
■*; ^ y)J dy. |
(30.21) |
1 х (у) |
|
|||||
Тогда (30.19) принимает вид
« (У) { |
Эх |
^ |
[а К У)/(Л А; |
у)] |
|
1 |
А 2 |
[^('. у )/( г 1, |
а ; т. у)1}^у = |
о. |
(30.22) |
2 |
Эу2 |
Так как функция х(у) произвольная, то тождество (30.22) воз можно только в том случае, когда равно нулю выражение, заклю ченное в фигурные скобки. Следовательно,
дх |
+ |
|
у )|- |
|
|
|
|
|
1 дг |
’ ’ >^ = 0 |
(30.23) |
|
Y J f |
||
|
|
Данное равенство и является вторым уравнением Колмогорова. Это уравнение сопряженное для (30,11) в смысле сопряженности соот
229
ветствующих линейных операторов. Функции а(т, у) |
и Ь(х, у) |
||
в (30.23) |
являются |
коэффициентами сноса и диффузии при аргу |
|
ментах Т I I |
у. |
дифференциальное уравнение для |
одномерной |
Чтобы |
получить |
||
плотности распределения fi(y, т), умножим равенство (30.23) на [i(x; t) и проинтегрируем по всем возможным значениям х. Учи тывая (29.5), приходим к следующему уравнению:
д Д (у ; |
*) , |
|
д_ |
у) А Су ; х)1 - |
|
||
дт. |
|
ду |
|
||||
l |
i l |
[ь |
( ч |
y ) f i Су; |
т)] = |
0. |
(30.24) |
2 |
oyz |
|
|
|
|
|
|
Введем вспомогательную функцию |
|
|
|
||||
М у ; х) = а (ч |
у) Л (у; "t) — |
|
у )/>(у ; *=)], |
(30.25) |
|||
которая называется потоком вероятности. Тогда уравнение |
(30.24) |
||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
<?Ы у; |
х) |
I |
dS i ( y , |
т) _ |
Л |
(30.26) |
|
|
<?т |
|
^ |
<?у |
|
|
|
Данное равенство можно понимать как уравнение сохранения ве роятности.
Чтобы выяснить физический смысл функции Si (У; т) и соотно шения (30.26), рассмотрим N реализаций у.(т) ( /= 1 , 2, ..., N) марковского случайного процесса X(t). Функцию У\ (т) будем пони мать как абсциссу j-ii частицы в момент т, перемещение которой вдоль координатной оси происходит, как при броуновском движе нии со сносом только при переменных коэффициентах сноса и диф фузии. Совокупность из N частиц, совершающих взаимно незави симые случайные блуждания, при большом N можно рассматривать как некоторый газ, находящийся в процессе диффузии. Число N молекул этого газа остается неизменным, так как частицы не раз множаются и не исчезают. Плотность газа в точке у в момент т пропорциональна fi(y\ т). Перемещение молекул газа происходит вследствие наличия систематического сноса со скоростью а(т, у) и диффузионного движения, характеризующегося коэффициентом диффузии Ь(т, у). Поток частиц Si(y, т) складывается из система тического потока а(т, y)h(y; т) и диффузионного потока
— у |
так что для |
функции S] (у, т) справедливо |
выражение |
(30.25). Произведение |
S j(г/, т)Дт пропорционально |
числу частиц, прошедших сечение у па координатной осп за время Ат. Разность ДДг/ф-Дг/; т)Дт — Sj(y; т)Дт пропорциональна при-