Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

ращению числа частиц за время Ат на отрезке координатной оси от у до у + Ду. Приращение плотности газа за время Ат при этом пропорционально разности fi(y, т) — fi(y, т + Дт), а потому прира­ щение числа частиц за время Дт на отрезке длиной Ду пропорцио­

рое является уравнением непрерывности потока, или, что то же са­

в частных производных второго порядка уравнения (30.10), (30.11), (30.23) и (30.24) относятся к уравнениям параболического типа. Чтобы получить однозначное решение любого из указанных урав­ нений, необходимо задать начальное и граничные условия для со­ ответствующей искомой функции. Начальное условие представляет собой значение искомой функции в начальный момент времени. Для уравнения (30.24) начальный момент времени будем считать равным t, так что всегда т > /. Пусть в момент t ордината марков­ ского процесса является случайной величиной с известной плот­ ностью распределения f(x; t). Тогда начальное условие для иско­ мой одномерной плотности распределения f\{y, т), являющейся ре­

Иногда начальная ордината рассматривается не как случайная ве­ личина с плотностью распределения /(х; /), а считается известной и равной заданному значению х. Так как это единственное значе-

231

нне начальная ордината принимает с вероятностью 1, то плотность распределения f(x, t) вырождается в дельта-функцию 6 ( у — х). Начальное условие (31.1) для искомой функции fi(y; т) в этом случае принимает вид

Для второго уравнения Колмогорова (30.23) начальный момент времени равен t. Еслп в искомой условной плотности распределе­ ния f(t, х\ х, у) принять х — t, то согласно (29.6) эта функция об­ ратится в дельта-функцию. Следовательно, начальное условие для функции /(/, х; х, у), являющейся решением дифференциального уравнения (29.23), записывается в виде

f(t, х; т, у) при t = т, т. е. в этом случае начальным является мо­ мент х. Начальное условие для условной плотности распределения f(t, х; х, у) при этом совпадает с (31.3).

Чтобы получить решение дифференциального уравнения (30.10), необходимо знать значение искомой условной функции распределе­

циальные уравнения - (30.23) и (30.24), с помощью которых нахо­ дятся условная плотность распределения /(/, х; х, у) и одномерная плотность распределения fi(y, х) марковского случайного процесса при его развитии, т. е. в момент х > t. Граничные условия для ука­ занных искомых функций вытекают из физической сущности ре­ шаемой задачи и определяются ограничениями,накладываемыми на ординату у процесса яри любом т > t. Для обоих уравнений гранич­ ные условия записываются одинаково. Чтобы не повториться при

получаются нз соответствующих условий для уравнения (30.24)

распространенными для таких уравнений являются граничные усло­ вия на бесконечности, суть которых состоит в том, что ордината

232

процесса не может уходить в бесконечность и появляться из беско­ нечности. Вследствие этого поток вероятности *S] (г/; т) при боль­ ших по абсолютной величине значениях ординаты у должен рав­ няться нулю, а потому граничные условия записываются в виде

Равенства (31.6) выполняются всегда, так как они необходимы для того, чтобы неотрицательная функция f\(y; т) удовлетворяла усло­ вию нормировки

этом дифференциальные уравнения (30.23) и (30.24) справедливы только при а < у < |3. Так как все возможные значения случайного

процесса не может выйти из области А з , а потому отсутствует по­ ток вероятности через ее границы. Вследствие этого граничные

При решении многих практических задач, связанных с опреде­ лением вероятности нахождения марковского случайного процесса

втечение определенного промежутка времени в заданном диапа­ зоне, используются не отражающие, а поглощающие границы. Эти,

вобщем случае переменные, границы обозначим через Х(т) и р(т),

где Л(т) и р(т) — заданные функции, причем р(т) > Я (т), а об­ ласть, ограниченную этими линиями, — через Di^, Будем считать, что при достижении процессом любой границы сразу происходит его «поглощение». Если ордината процесса совпадает с какой-либо характеристикой физической системы, то каждое поглощение озна­ чает нарушение функционйрования системы. Результатом первого поглощения может быть прекращение дальнейшего функциониро­ вания системы или ее временное отключение с восстановлением

233

функционирования прп возвращении ординаты процесса в область Поэтому можно говорить о поглощении всего процесса или только его части. Примером системы первого типа является крыла­ тая ракета, совершающая полет на малой высоте над земной (вод­ ной) поверхностью. Если марковским случайным процессом при этом является высота полета ракеты, то полное поглощение этого процесса происходит при достижении нулевой высоты. Ко второму типу систем относится, например, цепь стрельбы, которая при не­ прерывно изменяющейся ошибке наводки отключается на время, в течение которого ошибка превосходит заданное значение. Подоб­ ные задачи возникают в теории надежности, когда для безаварий­ ной работы системы необходимо, чтобы определенная характери­

стика не выходила за допустимые пределы.

При наличии поглощающих границ Х(т) и д(т) одномерную плотность распределения fi (у; т) марковского случайного процесса

Если для момента t известна плотность распределения /«(*; t) ор­ динаты процесса, то начальное условие для функции w(y; т) запи­ сывается в виде

Граничные условия для функции w(y\ г) отличаются от выра­ жений вида (31.9), так как на границах Л(т) и ц(т) имеется от­ личный от нуля поток вероятности. Известно, что при марковском

234

случайном процессе мгновенная скорость изображающей частицы бесконечная. Ограниченность смещения частицы за конечное время объясняется тем, что скорость беспрестанно с неограниченной ча­ стотой меняет знак, а потому движение происходит вперед и назад. Если случайная функция X(t) в момент т имеет значение у, то непосредственно до этого момента данная функция принимала зна­ чения, расположенные слева и справа вблизи значения у. Вслед­ ствие этого практически каждая траектория, проходящая вблизи границы А(т) пли р(т), приводит к поглощению процесса. Так как плотность распределения w(y, т) вероятностей нахождения про­ цесса в области А ,, при т > t отлична от нуля только для непогло­ щенных траекторий, то эта функция удовлетворяет следующим гра­ ничным условиям:

стей нахождения марковского случайного процесса в области Diа находится однозначно как решение дифференциального уравнения (31.11). Зная эту функцию, можно определить различные вероят­ ности и числовые характеристики случайного процесса.

Обозначим через Р(т) вероятность недостижения нп разу про­ цессом границ Я(т) и р(т) области Оха во* временном интервале от t до т. Данная вероятность получается с помощью w(y; т) в резуль­ тате интегрирования этой функции по всем возможным значе­ ниям у из области Dy.. Следовательно,

Х(т)

Проинтегрируем обе части равенства (31.10) по у от —оо до оо. Так как функция w(y: т) равна нулю вне области Di,,., то с учетом

(31.7) и (31.16) получаем

1 = Рх (*) + /V М 4- р М -

в области Охр. уменьшается, а потому условие нормировки вида (31.7) для функции ш(г/; т) не выполняется. В пределе получается

Р (оо) = 0.

Обозначим через fz(z) плотность распределения времени Z пре­ бывания случайного марковского процесса в области Ар. после мо­ мента t (до первого поглощения). Чтобы получить аналитическое

235

\