Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 215
Скачиваний: 0
Если начальная ордината х является случайной величиной с из вестной плотностью распределения / х (х ), то математическое ожи дание z времени Z достижения процессом границы области D K1. на ходится но формуле
_ |
К - __ |
(31.36) |
'■= j г (х) fK(x)dx. |
||
Пусть, например, при броуновском движении начальная орди ната х имрет равномерное распределение в интервале от К до ц, т. е.
|
1 |
при л < |
х < |
и; |
|
(31.37) |
L (х) = |
\ 11 - |
|
||||
х |
к и при X > |
р. |
||||
|
О |
при X < |
|
|||
Тогда |
j (х — к) (р - x ) d x |
|
|
|
||
Ь(р- 75у |
= ^ (р - |
к)\ |
(31.38) |
|||
Кроме математического ожидания времени пребывания процесса в области £>Х|м без решения дифференциального уравнения в част ных производных (31.22) при выполнении тех же условий можно найти моменты более высокого порядка. Для этого необходимо со ставить соответствующее дифференциальное уравнение для иско
мого момента. Обозначим через fz (t, х; z) |
плотность распределения |
времени пребывания процесса в области |
если в момент t его |
ордината равна фиксированному значению х. Тогда |
по аналогии |
||||
с (31.19) |
|
|
|
|
|
fz(t, |
х; Z) |
дР (t, х; т) |
|
(31.39) |
|
д |
- = z + t |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Когда коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, условная плотность распределения fz (t, х; z) не зависит от t, при чем
/г (7, х, |
z) — fz{x, |
z) |
дР ( х , |
т — t) |
|
дР (х, z) |
|
||
|
dx |
|
dz |
' |
|||||
|
|
|
|
|
T= Z + t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(31.40) |
|
С учетом этого |
равенства из |
(31.29) |
после дифференцирования |
по |
|||||
z — x — t приходим к следующему уравнению: |
|
|
|||||||
dfz(x, |
z) |
|
dfz(x, z) |
, |
Ь(х) |
d2fz{x, |
z) |
|
|
dz |
|
— ( |
1 |
dx |
+ |
2 |
dJ? |
( 3 1 . 4 1 ) |
|
|
|
|
|||||||
240
Обозначим через Ez (х, и) условную характеристическую функ цию, связанную с fz (х, z) равенством
|
Ez{x, и ) = j e'uzfz (х, z)dz. |
(31.42) |
|||
Чтобы |
получить уравнение |
относительно Ег {х, и), |
умножим обе |
||
части |
(31.41) на е'и/ и проинтегрируем но всем возможным значе |
||||
ниям 2. Так как |
|
|
|
|
|
|
j giuz |
dz = |
- |
iuEz (x, и), |
(31.43) |
то в результате указанного преобразования получаем |
|
||||
ШЕг (.х, и) + а(х) дЕЛ£ — |
+ |
|
- Щ * * — |
= °- (31 -44) |
|
|
|
|
|
ди2 |
|
Характеристическую функцию Ег(х, |
и) можно представить в виде |
||||
|
Ег{х, и) — 1 -f iu z {х) |
-f- |
(ill)2 т2(х) |
(31.45) |
|
|
|
|
|
2! |
|
где z(x) определяется формулой |
(31.32), а т2(х) — условный вто |
||||
рой начальный момент времени достижения процессом границы об
ласти Dip. Если подставить |
(31.45) в (31.44) и сравнить, члены |
||||
при Ш, то получим уравнение |
(31.31). Сравнивая члены при (ш )2, |
||||
приходим к следующему уравнению: |
|
|
|
||
d2m2(x) |
, 2а(х) |
dm2(x) |
— 4 z(x) |
|
/0, |
~~d& |
+ ~ H x T ~ d ^ = |
b(x) |
• |
(ЗЬ46) |
|
Граничные условия для т2(х) |
по аналогии с (31.33) |
записываются |
|||
в виде: |
|
|
|
|
|
|
т ф ) = |
0; т 2(р) = |
0. |
|
(31.47) |
Зная решение т2(х) уравнения (31.46), которое находится так же, как (31.33), можно определить условную дисперсию D(Z/x) времени достижения процессом границы области Dip, используя для этого равенство
• D(Z/x)— т2(х) — (z(x)]2. |
(31.48) |
безусловная дисперсия случайной величины Z находится по фор муле
D(Z) = M[D(Z/x)] + D[z(x)]. |
(31.49) |
16 |
241 |
Если, например X(t) — процесс броуновского движения, |
то ре |
||
шение уравнения (31.46) записывается в виде |
|
||
т, (х)= з £ г [(? - X)3(х- \) - |
2 (v - |
X) (х- X)3 + (х- X)4]•(31.50) |
|
Тогда условная дисперсия |
|
|
|
D(Z/x) = ^ [ ( i i - K ) 3( x - X ) - З ( ц - Л ) 2( * - Л )2 + |
|
||
+ 4 ( ц - Л ) ( х - Я ) 3 - 2 ( х - Х ) 4]. |
(31.51) |
||
При использовании (31.37) получаем: |
|
|
|
M\D(Z/x) |
|
(31.52) |
|
D [z(*)] |
18Qb2 • |
(31.53) |
|
Следовательно, |
|
|
|
D (Z ) — |
180 b2 |
' |
(31.54) |
[ > |
|
||
§32. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ИДИФФУЗИОННЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Теория непрерывных марковских процессов широко исполь зуется в приложениях потому, что она тесно связана с так назы ваемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, с по мощью которых описывается большое число физических явлений и функционирование различных нелинейных систем автоматического регулирования. В одномерном случае стохастическое дифференци альное уравнение имеет вид
|
*(0 = < p tm я+ч>[вд, |
(32.1) |
|
где ф(х, |
t) и ф(х, ^ — заданные |
непрерывные |
функции аргумен |
тов х и |
t. Функция i(t) из (32.1) |
представляет собой нормальный |
|
белый шум, т. е. l(t) является первой производной от процесса броуновского движения (см. § 28). Математическое ожидание этой
случайной функции равно нулю, т. е. g(/) = 0. Без ограничения общности можно считать, что интенсивность белого шума равна
единице, а потому корреляционная функция для |(/) |
определяется |
формулой |
|
* 6 (т ) = М [& (0 & (< / + * ) 1 = б ( * ) . |
(32.2) |
242
Вместо дифференциального уравнения (32.1) можно рассматри вать интегральное уравнение, получающееся из (32.1) в резуль тате интегрирования от t0 до t:
X(t) = X(t0) + § 9 [X(t'), |
t'\dt' -f- j b\X(t'), |
(32.3) |
to |
to |
|
Из (32.3) следует, что случайный процесс X(t) марковский. Действительно, так как ординаты нормального белого шума |(^) независимы, то при известном X(t0) их значения до произвольного фиксированного момента to никак не влияют на поведение про
цесса |
X(t) в любой |
момент времени f > t 0. Вследствие этого |
со |
гласно |
(32.3) закон |
распределения случайной функции X{t) |
при |
t > t0 и заданном значении X(t0) не зависит от того, как изменялся этот процесс до любого фиксированного момента t0. Выполнение указанного условия и означает, что X(t) — марковский случайный процесс.
Чтобы найти коэффициенты сноса a(t, х) п диффузии |
Ь(/, х) |
для X(t), положим |
|
Z (t -J- At) — Z{t) — AZX(t) -)- AZg (/), |
(32.4) |
где |
|
t +A t |
(32.5) |
AZi(t)= jq>[X (t'), t W , |
|
t |
|
t + A t |
|
AZ2(t)= j\p[X(f), t']l(t')dt'. |
(32.6) |
t
Подставляя (32.4) в (30.1) и (30.2), приходим к следующим выра жениям:
d(t, |
x) = |
lim — |
M {[AZj (t) + |
AZ2 (t)]/X(t) ~ |
x}. |
|
|
A t - * 0 tit |
|
|
|
b(t, |
x) = |
lim A - |
M {[AZ, (t) + |
AZ2 (t)]2IX{t) = |
x ). |
|
|
A t - * 0 tit |
|
|
|
(32.7)
(32.8)
По условию ф(х, t) является непрерывной функцией аргумен тов х и t. Так как марковский процесс X(t) также непрерывный, то при 0 случайную функцию AZ^t) можно представить в виде
AZ,(/) = qP (f},f]A f + 0(AO. |
(32.9) |
Для случайной функции AZ2(t), в зависимости от определения сто хастического интеграла (32.6), могут быть получены два различ ных выражения. Вследствие этого для коэффициента сноса a(t, х) также получаются два различных выражения, которые называются
хкоэффициентами сноса для стохастического дифференциального уравнения по определению К. Ито и Р. Л. Стратоновича соответ-
243
ственно. Если по аналогии с (32.9) непрерывную случайную функ цию г|)[^(Г), П из-под знака интеграла в (32.6) вынести началь ным значением при t' — t, то
t+it |
|
AZ2 (t) = ф[ЛГ (t), t\ \%{t’)dt'. |
(32.10) |
t
Подставляя (32.9) и (32.10) в (32.7) и (32.8), приходим к следую щим равенствам:
|
|
|
|
a it, |
х) = lim |
Дt |
М\ч{х, t)\t + |
|
||
|
|
|
|
|
|
A t-o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t+A t |
|
|
|
(32.11) |
|
|
|
-j- ф (л*, |
t) |
J ? ( П Л ' |
+ |
0 (Д0 1; |
|||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
b(t, JC) == lim-г^т-М {[?(*, t)bt + |
|
||||||
|
|
|
|
v |
|
At-»0 А Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И -At |
|
|
|
(32.12) |
|
|
|
+ |
<tix, |
t) |
j 6 ( П Л ' |
+ |
0 (ДО]8}- |
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Так как \ {t) — 0, то |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
't+At |
|
|
t + At |
|
(32.13) |
|
|
|
M |
j W ) d f |
j |
\{t')dt’ -. :0. |
|||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t+A t |
|
|
|
|
=. M |
At At |
|
dt" |
|
M |
%{t')dt' |
|
|
|
|
|||||
j |
|
о |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
= |
j |
j |
K, {?' - |
1') dt' dt" |
= |
2 J (Д* - t) 8 (t) dx. |
|
||
|
|
о |
« |
|
|
|
|
|
|
|
Используя равенства |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
At |
(32.14) |
|
|
|
|
|
f S ( t ) * = |
0,5; |
|
jxo(T)rfT = 0, |
||
находим |
|
|
|
|
|
г t+At |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M- |
j \ { t ' ) d t ' |
— \ t . |
(3 2 .1 5 ) |
|||
24 4