Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и тот же в каждом сечении у при любом х. При постоянном потоке вероятности Si из (33.2 ) получаем следующее дифференциальное уравнение:

-j^[b(y)f(y)] — 2a(y)f(y)= —2Su

(33.5)

Положим

X(y)=b(y)f{y). (33.6)

Тогда (33.5) можно записать в виде

dl

2

а (У)

х ( У ) --------2Sl

(33.7)

dy -

Ь{У)

 

Если обтросить правую часть этого линейного дифференциального уравнения первого порядка, то после разделения переменных по­ лучим

^ - = 2

а ( У ) dy .

X

Ь(У)

Поэтому общее решение однородного дифференциального уравне­ ния, которое получается из (33.7) при *S! = 0, имеет вид

X (У) = С ехр

2

а (х)

dx

,

 

(33.8)

Т(х)

 

L

Уо

 

 

 

 

 

 

где С — постоянная интегрирования,

а Уо — заданное

(любое)

зна­

чение ординаты у.

подстановки

(33.8)

в (33.7)

при­

Считая С функцией у, после

водим к равенству

 

 

 

 

 

 

 

С' (у) = — 2Sjexp

а(х)

dx

 

 

 

(33.9)

 

Ь{х)

 

 

 

 

 

Уо

Интегрируя это выражение и подставляя результат в (33.8), полу­ чаем общее решение дифференциального уравнения (33.7) в виде

х(У) = С ехр

у

— 2Sj Jexp

Уо

L Уо

2 f 4 4 4 - d x d z .

(33.10)

b(x)

 

Так как

f{y) ■ x ( y )

(33.11)

b { y )

 

250

то выражение для стационарной плотности распределения f(y) со­ держит неизвестный поток вероятности Si и постоянную интегри­ рования С, значение которой зависит от уо. Поток вероятности на­ ходится из граничных условий. В реальных системах ордината процесса не может уходить в бесконечность и появляться из беско­ нечности, поэтому в большинстве случаев поток вероятности на бес­ конечности равен нулю. При стационарном режиме поток вероят­ ности постоянный, а потому S] = 0. Следовательно, в большинстве случаев выражение для стационарной плотности распределения имеет вид

 

С

V

 

(33-12)

f ( y ) =

, , ~т ■ехр

 

Ь(у)

 

 

 

Уо

При заданном значении уо произвольная постоянная С из (33.12) находится из условия нормировки, согласно которому

Jоо !{y)dy = i.

(33.13)

Иногда условие (33.13) не выполняется ни при каком ограничен­ ном значении постоянной С. В этом случае стационарная плотность

распределения f(y) не существует.

распределения

f(y) является пе­

Если стационарная плотность

риодической функцией с периодом L, то аналитическое выражение

для

этой

функции

определяется

только

для

одного -интервала

(Уо,

1/о +

Е), где уо — любое

фиксированное

значение ординаты у.

Условие нормировки записывается в виде

 

 

 

 

 

Уо+ L

f(y)dy =

l.

 

 

 

 

 

j

 

(33.14)

 

 

 

у»

 

 

 

 

 

Входящие в формулу (33.10)

постоянные С и Si

в этом случае оп­

ределяются с помощью соотношения

(33.14) и

условия периодич­

ности функции f(y),

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

f(y) = f(y +

L).

 

(33.15)

. Когда коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени т,

т. е. а(т, у) = а(у)

и Ь(х, у)=Ь(у),

функции <p(x,

t)

и 0p(x, t) для

соответствующего

стохастического

дифференциального уравнения

(32.1) не зависят от t, т. е. ц>(х, ^)=

ф(х), и ф(х,

^) =

ф(х). Следо­

вательно, стохастическое дифференциальное уравнение (32.1) запи­

сывается в виде

 

1'

 

* ( 0 = Ф [ * ( 0 ]+ Ч > [Х (/)]К 0 .

(33.16)

 

251

Стационарная плотность распределения f(y) решения X(t) этого дифференциального уравнения определяется формулами (33.1 2 ) или (33.11). При этом коэффициент диффузии Ь(х) = [ф(х)]2. Ко­

эффициент сноса а(х)

по

Ито совпадает с ф(х), т. е. а(х) = ф(х).

Коэффициент сноса по Стратоновичу связан с

функциями ф(х) и

ф(х) равенством

 

 

 

а(х) =

ф(х) + 0)5ф(х)ф, (х).

(33.17)

Если коэффициент сноса понимается по Ито,

то формула (33.12)

принимает вид

 

 

 

/ (У)

w

exp

(33.18)

 

 

 

 

Уо

 

С помощью (33.17)

находим

 

а (х ) dx ■

у

 

?(■*) rfx + 0,5 In Ф(У)

[tO*)]2

 

it о*)]2

t (Уо)

Уо

 

Уо

 

Поэтому при коэффициенте сноса по Стратоновичу стационарная плотность распределения определяется формулой

 

Г

у

 

/(у) —

С , exp

?(-*) dx ,

(33.19)

t(y )

I'M*) l3

 

 

L

Уо

 

где

С

С.

■МУо)

При неизвестном потоке вероятности Si выражение для стацио­ нарной плотности распределения можно представить в виде

 

Пу)

с,

ехр

Д (•*)

dx d z ,

(33-20)

 

Ь(У)

Ь{х)

где С]

и С2— произвольные

постоянные, связанные с С

и Sf из

(33.10)

равенствами:

 

 

 

 

 

 

 

 

Ci =

2Si;

 

 

 

 

с3

 

 

 

 

 

С =

С, ехр

 

dz.

 

 

 

Уо

Z

 

 

 

252

При коэффициенте

сноса

по

Ито формула

(33.20)

принимает вид

 

С,

с.

 

2^[фЦ2dx

 

 

 

 

ехр

d z ,

(33.21)

['Му )]2

/(у) =

 

 

 

 

 

а при коэффициенте сноса по Стратоновичу

 

 

 

 

С\

с9

 

 

у

 

 

 

 

г

1

•ехр

?

( х )

■dx

dz .

(33.22)

/(У )

J

Ф (г )

J [Ф(*)Г

,Ф(У)

 

 

 

 

У

Рассмотрим примеры на определение стационарной плотности распределения решения стохастического дифференциального урав­ нения (33.16) при частных видах функций ф(х) и ф(х).

Пример 33.1. Исходное стохастическое дифференциальное урав­ нение

* ( 0 + «

+ Р *(*)= Т | (0 ,

 

(33.23)

где а, р и у — заданные постоянные, причем р >

0.

что в дан­

Р е ш е н и е . Из сравнения

(33.23) с (33.16)

следует,

ном случае <р(х)= —а — рх;

ф (д ;)= у . Согласно (33.18)

для иско­

мой плотности распределения находим

 

 

/(У) = д р - е хР

(а-|-Р;е) dx

 

Схехр

1

 

 

Г (РУ2 + 2«У)

 

 

Так как f(y) является произведением постоянной на экспоненту, показатель которой — многочлен второй степени от у, то стационар­ ное распределение нормальное, т. е.

(У - у)3

2-

Из сравнения двух выражений для функции f(y) получаем:

1

‘Р

У

- 2 а

2о2

у 2 ’

а2 ~~

у2

а потому

 

 

— а

о

 

 

 

 

У — Т ~

253

Смотрите также файлы