Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример 33.2. Стохастическое дифференциальное уравнение за­

дано в виде

 

^ (0 + U 2x W = T | (0 ,

(33.24)

где Я и у — известные постоянные, причем Я >

0, а функция к(х)

задана графиком (рис. 4).

 

Х ( х )

 

Р еше ни е . В данном случае <р(х) = —Я*г2х(х), а ф ( х ) = г . По­

этому при С1 = —jj- и Уо — —Х\ из (33.18) для искомой стационар-

‘

I

ной плотности распределения получаем

 

/(У) = С, ехр — 2Я j

у

х (х) dx .

Аналитическое выражение для функции х(х) следующее:

 

— 1

при

х < —х,;

 

■х~Ь х 0

при

— X j < x < — Х0 ;

 

Xi — х 0

 

 

 

/(х) =

О

при

|х |-< х 0 ;

 

___£ 0_

при

х 0< х < х , ;

 

X, — х 0

 

 

 

 

1

при

Х > Х х.

254

Интегрируя ату функцию, находив

У

 

 

 

J* х (х) dx ■

 

 

—у — х 1

при

у < — х,;

— 0,5 (jc, — х 0)

 

_^_У +х 0

уI2

при — .*! < у < — х 0;

 

ci

-^о

/

 

 

 

 

 

— 0,5 (л:! — х 0)

 

при

1у 1 < х0;

■0,5 (х{

л'0)

1

У —

х 0

2 П

при х 0< у с л,;

X, — х 0

_

 

 

 

 

 

 

у — х 1

 

при

у >

х { .

Искомая стационарная плотность распределения

 

 

С1£2Х(у+ х‘>

при

J/ <[ — Ху

 

С1ехр|х(х,

- х 0)

1 -

 

 

| п р и —

Н у )

.

С1ех(х‘_х»)

при

I у |< х0;

 

Схexp jX {xl — x 0)

1 —

У —

x 0

при

 

^ i — ^o

 

 

 

 

 

 

 

Cxe~2Х(у- х-)

при

y ^>x x.

Воспользовавшись условием нормировки, находим

~Xq\

Х0< у < л :1;

 

7>х‘

 

 

 

р х°

- х (у + ад 2

 

C f1 =

1 g2X<y+xi) dy -)- еХ(х‘_х»)

\ е

*'

х°

dy -f-

 

—«о

 

 

 

-Xj

 

 

 

 

2 х 0ех(х ‘-

х »> + ех(х ‘ -

 

*

- Чу -

х0)3

 

 

 

+

х«)

\

е

dy - f

\ е -2 Х (у -*i) dy.

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— X (у +

х0)а

 

У

- >- (у

х0)2

 

 

 

 

 

 

d y + \ e х-~х“ dy

 

2\f х у

/ й ( х , — х0)

 

j

й?2 = V TC(*i — *о)

 

 

 

 

Ф [2X(JC, - * 0)],

V

2Х

 

 

 

 

 

 

 

/ X

 

 

 

255

то

 

 

 

 

С Г 1= - j - + 2x0exл -

*«>+ | /

4 Ц х ,-

x 0)

[2Я (x, — x0)| .

В частном случае,

когда х0 =

х{ = О,

получается

С\ 1 = 4 -, т. е.

Сх = Х. При этом f(y) = ke~2X1у1, т. е. стационарное распределение совпадает с распределением Лапласа.

Пример 33.3. Исходное стохастическое дифференциальное урав­

нение

 

- -L рхцц

 

 

 

 

X(t) + k f X ( t ) e - * W = ie

l{t)

,

(33.25)

 

2

где а,

р, т и Я — заданные постоянные,

причем Я >

0.

При каком соотношении между положительными

а и р суще­

ствует стационарная плотность распределения f(y)t

Найти эту

функцию, когда коэффициент сноса определяется:

 

 

 

а)

по Ито;

 

 

 

 

б) по Стратоновичу.

Реш ен и е . В данном случае

®(х) = — Я-^хе-0 *’;

-- г х5

Ф(■*) = К

•

Имеем

 

2 1 F

w f d x = ~ 21J

xeis~’ “ ' dx “

Уо

 

У°

 

= _ = l L Ы Р - “)уа -

.

 

p — a

1

 

а) Воспользовавшись формулой (33.18), находим

/ (У) =

Cl exp

py2— J 3 -

где Ci — постоянная, определяемая из условия нормировки (33.13), т. е.

с г 1=

ехр Ру2

g(P—“)У2

dy.

 

 

 

Ограниченное значение коэффициент С\ имеет только в том случае, если / ( ± оо) = 0. При положительных а, р и Я последнее условие выполняется, если р > а. Когда а > р, стационарная плотность рас­ пределения не существует.

256

|С2 | = с о .

Г>) Воспользовавшись формулой (33.19), находим

f ( y ) = C 2exр

J—Ву2-

I

_____ е ф - а ) у3

 

 

2

р - а

причем согласно условию нормировки

 

с г 1

е х р

1

■е®~«)уг dy .

РУ5

Пример 33.4. Найти периодическую с периодом L = 2я стацио­

нарную плотность

распределения f(y)

случайного процесса X{t),

являющегося решением стохастического дифференциального урав­ нения

X (0 = 0,5T2[ a + p s i n ^ ) ] + ?!(,/),

(33.26)

где а, р и Y — заданные постоянные,

причем а

0. При а ~ 0 по­

лучить явное выражение для f(y).

 

 

 

 

 

Р еш ен и е . В данном случае

 

 

 

 

 

<р(х) = 0,5т2(а +

psinx);

ф(х) =

,у.

Воспользовавшись формулой

(33.21)

или

(33.22),

находим

 

 

J

 

 

 

dz =

/ ( У ) = 7 Г С Х 1

ехр

j(a + psinx) dx

 

У

=Д - C.e“y-^cos у Г e - az+Pcos z dz .

ГJ

у

Имеем

Ca

f (у-f- 2тс) = -Д- Cxe* (y+2it)-Pcosу J е - т+Рcos z dz

У+ 2*

Полагая z — x + 2л, получаем

С32г

f (у + 2*) = -Д Суб^У~^cosу ( е - “х+?С08х^л: .

Условие f (у) = f ( у 2 п ) периодичности стационарной плотности распределения выполняется только при Принимая С2= со, получаем

 

 

оо

/ ( у ) =

 

J e - “z+pcoszrf2 =

1

~

у+2(к+1)я

Рcos у V

g-oz+gcosz dz.

5= _2_ с g«y-

„2 1

k=0

J 1

‘

y+2k*

17

257

Переходя от переменной интегрирования г к х с помощью подста­ новки z — x-\- 2Ы, приходим к следующему равенству:

1

У+2и

/ °°

f(y) — —Г С ^ у- Р ^ у j

e-«x+Pcosx

^ <1—2як-

1

у

 

\ к -0

что можно записать в виде

 

у+2тс

 

 

 

 

f (у)— С3е“у-Р cosу j е-

cos* dx ,

где

 

С,

 

С,

 

 

(1

— е - ^ )

 

f

 

Постоянная С3 находится из условия нормировки, т. е.

2л:

 

J f ( y ) ^ y = l )

 

 

 

а потому

2it

у+2тс

 

 

 

 

 

 

 

 

С3 1 = J е“У-Рcosу dy j

g-M+p cosx dx .

 

Используя

интегральное

представление для функции

Бесселя

/о (и) нулевого порядка мнимого аргумента в виде

 

 

 

,2те

 

 

 

 

 

Л» («) =

f e ±ucos(* - ^ x ,

 

 

находим

у.р2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j e^C0SXdx =

2 п /0 ( Р ) .

 

 

 

у

 

 

 

 

 

Тогда при а =

0 искомая плотность распределения

 

 

^г/) =

2яС3/о(Р )е-рсозу.

 

 

Из условия нормировки следует, что

Сэ"1 =

[2л/о(р)]2.

Следова­

тельно,

 

 

 

 

 

 

 

1

•g - pcosy

при

0 <

у < 2я .

 

 

 

 

2ic/ 0 (?)

258

§ 34. НОРМАЛЬНЫЙ МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Одномерная плотность распределения f\(у; т) и условная плот­ ность распределения f(t, х; т, у) при любых у п т находятся как решение уравнений (30.24) и (30.23) при соответствующих началь­ ных и граничных условиях. Вместо указанных двух уравнений Колмогорова будем рассматривать одно аналогичное уравнение в частных производных параболического типа относительно функ­

ции f(y, т), которая в зависимости

от существа

задачи

совпадает

с fi(y,

т)

или с f(i,

х\ т, у). Это уравнение записывается в виде

dfi^

т)

+

У)/(У> *)]

[й(т’

у )^(у’

x)J==0 •

 

 

 

 

 

 

(34.1)

Известно несколько методов решения данного уравнения. Ино­ гда решение уравнения в частных производных (34.1) можно све­ сти к решению одного обыкновенного дифференциального урав­ нения или к системе таких уравнений. Точное аналитическое вы­ ражение для плотности распределения f(y, т) удается получить только при некоторых частных видах коэффициентов сноса а (г, у) и диффузии b (т, у).

Рассмотрим метод решения уравнения (34.1), применимый в случае, когда коэффициенты сноса и диффузии являются линей­ ными функциями от у, т. е. имеют место равенства:

а (т, y) = ao(x)Jr ai(i)y; Ь{%, y) = b0(x) + bl{x)y,

(34.2)

где dj (т) и bj (т) (/ = 0, 1 ) — известные функции времени т (по­ стоянные в частном случае). Требуется найти решение уравнения (34.1) при начальном условии f(y, x)/t=t =f (x , t), где f(x, t) — заданная функция, и при нулевых граничных условиях на беско­ нечности, т. е.

5 (— оо , т) = 0;

S(оо, т ) = 0 ,

(34.3)

где

5 (у, т) = а(т, у )/(у , T ) - - i - - ^ [й(т, у )/(у , т)].

(34.4)

Из условия существования конечного математического ожидания марковского процесса следует, что должно быть

lim [у/ (у, т)] = 0 .

(34.5)

I У I-.00

259

Смотрите также файлы