Вместо плотности распределения f(y, т) при указанных выше условиях проще найти сначала характеристическую функцию Е(и, т), которая связана с f(y, т) равенствами:
|
|
Е (а, х) == |
оо |
|
; |
|
|
|
|
|
|
j еыУf (у, т) dy |
|
|
|
(34.6) |
|
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f e“ iuy£(«- |
|
|
|
|
|
(3 4 j) |
Умножив |
(34.4) на е'иУ и проинтегрировав результат умноже |
ния по у от — оо до со , |
с учетом (34.4) и |
(34.6) |
получаем |
|
|
|
дЕ (а, х) |
+ |
ешУ - |
dy = |
0 . |
|
(34.8) |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрировав по частям, при граничных условиях |
(34.3) |
при |
ходим к равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЕ(и, х) |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
iu |
eluyS (у, x)dy = |
0. |
|
|
(34.9) |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении условия (34.5) |
аналогично получаем |
|
|
|
со |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
| е,иу^ |
й(т’ у)/(у. |
Т)1 |
dT = - |
iu ^ e ]uyb{x, |
y)f{y, |
x)dy. |
(34.10) |
— OO |
|
|
|
|
----oo |
|
|
|
|
|
|
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiuyy /(y , x)dy- |
. dE(u, |
x) |
|
|
|
(34.11) |
|
|
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
в |
рассматриваемом |
случае (34.9) |
можно |
представить |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЕ |
ш |
а0{х)Е{и, х)— iax{x) |
дЕ |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
+ 0,5и2 |
b0(x)E{a, |
x) — ibl {x) |
дЕ |
- |
0. |
|
(34.12) |
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
Таким образом, если коэффициенты сноса и диффузии являются линейными функциями от г/, т. е. справедливы равенства (34.2), то характеристическая функция Е(и, т) может быть найдена как ре шение следующего дифференциального уравнения в частных про изводных:
дЕ (и, т) |
U[° ч М + Ю . б и ^ (х )] |
дЕ(и, т) |
|
di |
да |
|
|
|
= |
14 К М + iO,5ub0М] Е (и, т ). |
(34.13) |
Данное уравнение — частный случай уравнения (9.22). Его реше нием является характеристическая функция Е = Е(и, т), которая при т = t обращается в известную функцию Е (и, t) , определяемую формулой
Е (a, t ) = j emxf (х, t) d x . |
(34-14) |
Применительно к (34.13) уравнения (9.24) записываются в виде:
~ ~ = |
— и [а, (т) + /0,5мг»! (т)]; |
(34.15) |
dE |
ш К (т) ~Ь iO,oubo (т)] Е. |
(34.16) |
^ |
Рассмотрим случай, когда Ь\{т) = О, а потому коэффициент диффузии Ь(т, у) не зависит от у и совпадает с Ь0{%). При этом из (34.15) находим
|
|
|
|
- J а,(1) <Ь) |
|
|
|
|
и — и^е |
, |
(34.17) |
|
где |
и0— некоторая постоянная |
(параметр). Подставляя |
это выра |
|
жение в (34.16), приходим к равенству |
|
|
|
|
|
X |
|
|
и |
dlnE |
|
— 2 j' a,(T))d-i) |
|
|
IUqCLq(т) 6 |
0,5u20b0(т) е 4 |
(34.18) |
|
|
d* |
|
|
|
|
|
Тогда
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
j'-H,(iri) di) |
Е(и, т) — Е(и0, Оехр |
ш0 |
|
а0(?) е |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
£ |
|
1 |
-2 |
jairt) di) |
|
- О , 5 й ф 0(0е |
‘ |
^ |
(34.19) |
t |
|
|
|
|
Выражения (34.17) и (34.19) являются параметрическим решением уравнения (34.13). Исключив из (34.19) с помощью (34.17) пара метр «о, получаем искомую характеристическую функцию в виде
j a,(i))<Н| |
|
j |
a,(T|)dij |
Е(и, т) = £ | ие* |
, t Jexp |
ш \ a0(?) e5 |
cf? |
|
|
|
t |
|
|
J, |
2 j* ax(ij) d-rj |
|
— 0,5h3 i |
b0(?) e 5 |
dl |
(34.20) |
|
\ |
|
|
|
Пусть в начальный момент времени t ордината случайного про цесса равна заданному значению х. Тогда начальное условие запи сывается в виде f(x, t) = b(y —х). Из (34.14) следует, что в этом случае Е(и, t) — e'ux. Выражение (34.20) упрощается и может быть представлено в виде
iu у — |
ir-u'b3 |
(34.21) |
E ( u , z ) = e |
2 у , |
где введены следующие обозначения:
X |
|
X |
|
I" ai(4)dl |
п |
j |
“■(’i)dTl |
|
У — хе1 |
+ U 0(?) е1 |
& ; |
(34.22) |
Т
р2 (' а,(ч) d4
° J = K (5 )< ? 'e |
dH. |
(34.23) |
t
В частном случае, когда коэффициенты Яо(т), яДт) и ^о(т) по стоянные, равенства (34.22) и (34.23) принимают вид:
— при Й1 Ф О
у = |
j х -f- |
[1 — е-а‘ (т “ Ч I ! |
(34.24)
02 _ Ь0. Гg2a,(т—t)— 1 1 .
У2а! [е
—при а\= О
y = x + a0(x — t)- a*=b0(x — t). (34.25)
Выражение (34.21) является характеристической функцией
нормальной случайной величины с математическим ожиданием у и средним квадратическим. отклонением оу. Следовательно, когда коэффициент сноса а(х, у) = а0(х) +а\{х)у, коэффициент диффу зии Ь(х, у ) ~ Ь о(т), а в момент t ордината марковского случайного процесса равна заданному значению х, ордината У = X (т) этого процесса при т > t имеет нормальное распределение с параметрами
у и зу, определяемыми формулами (34.22) и (34.23). Искомая плотность распределения при этом записывается в виде
(у-у)3
/ (У, -0 = |
0у 2гс |
2°2у . |
(34.26) |
------ т = - е |
Данная функция совпадает с одномерной плотностью распределе ния Д(у; т), если начальное значение х случайного процесса X(t) задано, и с условной плотностью распределения f(t, X; т, у) при любом фиксированном значении начальной ординаты. При случай ном значении начальной ординаты по формуле (34.26) с парамет
рами у и оу из (34.22) и (34.23) определяется только условная плотность распределения f(t, х; т, у) при любом значении х. Зная плотность распределения Д(х; t) начальной ординаты X(t), плот ность распределения случайной величины У= X (т) можно найти по формуле
МУ> х) = \fi(x; t)f{t, х; «с, y)dx. |
(34.27) |
Пусть начальная ордината X (/) |
является нормальной случайной |
'величиной с математическим ожиданием х (/) |
ц средним квадрати |
ческим отклонением зх (^), Тогда |
случайная |
величина |
У — X(х) |
