Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

также нормальная, а потому ее плотность распределения записы­ вается в виде

Математическое ожидание лг(т) и среднее квадратическое отклоне­ ние зх(х) для Х(ъ) могут быть определены с помощью равенства (34.20), если в нем заменить характеристическую функцию Е(и, т)

выражением вида (34.21) с параметрами х(%) и ох(т), а характе­ ристическую функцию начальной ординаты записать в виде

После указанной подстановки из сравнения коэффициентов при

Для условного среднего квадратического отклонения нормаль­ ной случайной величины справедливо выражение

При X — X(t) и У= X (т) по этой формуле с учетом (34.23) и (34.30) получаем следующее выражение для корреляционной функ­

264

чаем, что при заданном значении х начальной ординаты случайная величина Y= Х (т) имеет нормальное распределение; условный за­

Если начальная ордината X(t) является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием x(t) и средним квадрати­

уравнение Колмогорова записывается в виде (34.35). Следова­ тельно, решение уравнения (34.40) при заданном начальном усло­ вии является нормальным марковских! процессом, характеристики которого определяются формулами (34.36). Если начальное значе­ ние процесса является нормальной случайной величиной, то реше­ ние этого уравнения также является нормальных! марковским про­ цессом, причехг его характеристики выражаются форх!улами (34.38).

При a > 0 после затухания переходного процесса решение урав­ нения (34.40) можно считать стационарной случайной функцией.

265

Ее спектральная плотность определяется с помощью равенства

где Ф(гсо) — передаточная функция уравнения (34.40); 5£(со) — спектральная плотность нормального белого шума

Таким образом, корреляционная функция стационарного нор­ мального случайного процесса имеет вид (34.43). Справедливо и обратное утверждение о том, что нормальный процесс является марковским, если его корреляционная функция записывается в виде

при заданном значении х начальной ординаты X{t) и условная

0 / ^ 7 т — t)

266

Если начальная ордината X(t) является^ нормальной случайной ве­ личиной с математическим ожиданием x(t) и средним квадратиче­ ским отклонением ах (^), то одномерная плотность распределения fi(y; т) определяется формулой (34.28), в которой

Пример 34.1. Отклонение X(t) руля высоты, производимое авто­ пилотом для ликвидации пульсаций ветра, характеризуемых слу­ чайной функцией ~{%(t) , приближенно описывается стохастическим дифференциальным уравнением

шум, для которого 1 (t) — 0; Кх(т) = б (£).

Определить условную плотность распределения f(t, х; т, у) ор­

шись формулой (34.37), для искомой условной плотности распре­ деления получаем следующее выражение:

/ Г

X

Xехр

§35. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Для решения уравнений Колмогорова могут использоваться все методы, применяемые к уравнениям в частных производных пара­ болического типа. Наиболее часто решение этих уравнений произ­ водится методом Фурье, суть которого состоит в разделении пере­ менных. Применительно ко второму уравнению Колмогорова дан­ ный метод может быть использован только в том случае, когда коэффициенты сноса и диффузии можно представить в виде

267

В частности, если c ( T ) = const, то коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени т. Уравнение (34.1) при этом имеет вид

Согласно методу разделения переменных Фурье предполагаем, что искомая плотность распределения f(y, т) является произведе­ нием двух функций, одна из которых зависит только от у, а дру­ гая — только от т. Тогда

только от у, а потому обе части равны одной и той же постоянной,

ничные условия, которые записываются в зависимости от конкрет­ ных значений у и потому могут быть записаны относительно иско­ мой функции %(у). Следовательно, решение уравнения (35.6) нужно искать таким, чтобы выполнялись соответствующие гранич­ ные условия для функции %(у). При указанных условиях уравне-

268