Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Умножив уравнение для вероятности Pkj(/0, /) из (5.6) на и) и просуммировав результат по всем возможным значениям /, при­ ходим к равенству

В данном уравнении переменная и является параметром. Поэтому равенство (5.10) представляет собой обыкновенное дифференциаль­ ное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

31

Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова (4.9) для пуассоновского процесса имеет вид:

dPkk(t, -■)

О помощью непосредственной подстановки нетрудно убедиться, что решение этой системы также определяется формулой (5.16).

Система уравнений (4.6) для вероятностей Рj (t) при пуассонов­ ском процессе записывается в виде:

При t = 0 физическая система, соответствующая рассматривае­ мому процессу, находится в состоянии С0. Поэтому начальные усло­ вия для искомых функций Рj (t) следующие:

Решение системы (5.18) может быть получено по аналогии с ре­ шением системы (5.6). При этом Pj (t) совпадает с Ру(Аь 0 при k = 0 и to= 0. Следовательно, вероятность того, что в момент t фи­ зическая система находится в состоянии Cj, определяется формулой

Математическое ожидание x(t), дисперсия D[X(t)] и корреля­ ционная функция Kx(t, %) при %> t для пуассоновского процесса

32

Обозначим через P(k-\-s, x/k, t) вероятность того, что за про­ межуток времени от t до т физическая система из состояния Ск пе­ рейдет в Ck+S. Эта вероятность совпадает с Pk,k+s (t, т), п потому согласно (5.16)

(s = 0, 1, ...)•

Из выражения (5.23) следует, что за любой промежуток вре­ мени от t до т случайное число смен состояний системы при пуассонс/вском процессе подчиняется распределению Пуассона ■с пара­ метром a{t, т). Данный параметр равен математическому ожиданию (и дисперсии) числа смен состояний физической системы за ука­ занный промежуток времени. Математическое ожидание числа смен состояний в единицу времени в интервале от t до т будет

т

t

Мгновенная интенсивность (плотность) смены состояний физиче­ ской системы при пуассоновском процессе получается равной

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, находим

Таким образом, интенсивность (плотность) смены состояний X(t) физической системы при пуассоновском случайном процессе в лю­ бой момент времени t совпадает с временной плотностью вероятно­ сти у (0 перехода системы в следующее состояние.

При однородном пуассоновском процессе интенсивность смены состояний К, совпадающая с у, является постоянной величиной. Данная постоянная равна математическому ожиданию числа смен состояний физической системы в единицу времени. Заменяя в (5.5) Pkj {to, t) на Pkj(0 и у на Я,, прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова при однородном пуассоновском процессе получаем в виде:

Pkk (^) — ~~ ^Лек if) !

{i = k + 1, k + 2, . . . ; k = 0, 1, ...).

Согласно (5.15) при a.(to, t) — Kt решение этой системы

(i = k + 1) k + 2, . . . ; & = 0, 1, ...).

Система уравнений (5.18) для вероятностей Рj (t) при однород­ ном процессе записывается так же, как при неоднородном процессе, т. е.

P'0(t) = - l P 0(t);

Уравнения (5.29) относительно просто можно получить без ис­ пользования общих систе!м дифференциальных уравнений Колмого­ рова. Для этого только нужно с помощью формулы полной вероят­ ности найти вероятность Pj (t -f- Дt) того, что в момент t -)- At фи­ зическая система находится в состоянии Cj (/ = 0, 1, ...), когда гипотезой Hs является факт нахождения системы в момент t в со­ стоянии Cs (s — 0, 1, ...). За малый промежуток времени от t до t -j- At физическая система не может изменить более одного состоя­ ния. Поэтому данная система может оказаться в состоянии Ci в мо­ мент t -f- At только в двух случаях, когда за время At исходное со­ стояние Cj не изменяется и когда за это время происходит переход из состояния Сj_i в Cj. Следовательно,

Р<> “Ь — Ро (t)Лю {С t+ &.t);

Pi{t+U) = Pj (0 Pjj {t, t+ \t) + P j_1(t) Pj-i.j (t, t + \t) (5.30)

(/ = 1, 2, ...).

Введем функцию 0(Д/), которая по отношению к At имеет поря­ док малости выше первого, а потому

34

то система (5.29) преобразуется к виду

;35