Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Из этого выражения следует, что однородный пуассоновский процесс X(t) имеет распределение Пуассона с параметром kt. Про­ изводящая функция данного процесса

Математическое ожидание и дисперсия однородного пуассоновского процесса

Как указывалось выше, теория марковских процессов с дискрет­ ными ординатами и непрерывным временем используется при ис­ следовании функционирования систем массового обслуживания. Та­ кие системы предназначены для обслуживания поступающих в них требований (заявок), последовательности которых принято назы­ вать входными потоками. Примерами потоков могут служить: поток вызовов, поступающих на телефонную станцию; поток самолетов, приземляющихся в аэропорту; поток воздушных целей, прорываю­ щихся через ПВО корабельного соединения; поток неисправных ракет, поступающих на ракетную базу, и т. п. В общем случае тре­ бования в потоке могут быть различными. Однако обычно рассмат­ риваются только однородные потоки, состоящие из одинаковых тре­ бований. Если в систему поступают требования нескольких различ­ ных типов, то можно говорить о совокупности различных однородных входных потоков требований. В дальнейшем будем рассматривать только однородные потоки, в которых требования отличаются лишь моментами их поступления в систему. Такой поток можно предста­ вить графически на временной оси О/ в виде последовательности то­

при этом является временным интервалом от момента поступления

за другим через строго определенный промежуток времени Т. Такой поток требований называется регулярным или детерминированным. В приложениях регулярные потоки встречаются относительно редко.

t

Рис. 2

36

Замена реальных потоков регулярными, как правило, не упрощает исследований. Поэтому регулярные потоки требований используются реже, чем случайные, в которых требования в систему поступают через случайные промежутки времени Ти Т2, ... .

Чтобы описать однородный случайный поток требований, в об­ щем случае необходимо знать законы распределения систем случай­ ных величин (Гь Г2, . .. , Тп) при каждом 1. В приложениях наиболее часто используются потоки, в которых временные интер­ валы Т\, Т2, ... являются независимыми в совокупности случайными величинами. Такие потоки требований называются потоками с огра­ ниченным последействием. Если случайные величины Т-} при / ^ 2 распределены одинаково, т. е. имеют одну и ту же функцию распре­ деления, то поток требований называется рекуррентным потоком с запаздыванием. Когда случайная величина Т\ имеет то же распре­ деление, что и Тj при j > 2, поток требований называется рекур­ рентным.

Случайные однородные потоки требований удовлетворяют неко­ торым условиям. Одно из них, называемое условием ординарности, эквивалентно практической невозможности поступления двух и бо­ лее требований в один и тот же момент времени t. Обозначим через Pr (t, / + Л0 вероятность поступления в систему s требований за промежуток времени от t до t-\-At, а через # 2(^ ^ + Д^) — вероят­ ность поступления за указанный промежуток времени не менее двух требований, т. е. положим

R2(t, t + \t)=^P s(t, t + At) =

т. е. временная плотность вероятности поступления одного требова­ ния совпадает с временной плотностью вероятности поступления в систему хотя бы одного требования.

37

Так как в интервале от t до t + А^ при малом At и ординарном потоке требований практически невозможно поступление в систему более одного требования, то математическое ожидание числа требо­ ваний, поступающих за время Дt, совпадает с Рi (t, t + А^). Предел отношения указанного математического ожидания к At при -> О называется мгновенной интенсивностью или плотностью потока тре­ бований и обозначается через k(t). Учитывая (6.2), для k(t) по­ лучаем

Из этого выражения следует, что мгновенная интенсивность орди­ нарного потока требований k(t) совпадает с временной плотностью вероятности поступления в систему одного и хотя бы одного тре­ бования.

Потоку требований можно поставить в соответствие неубываю­ щий целочисленный случайный процесс X (t), значение которого в любой момент времени t совпадает с числом поступивших в си­ стему требований. Условие ординарности потока означает, что после

ввести соответствующую физическую систему, для которой состоя­

зависит от номера / состояния Cj, что является следствием совпаде­ ния законов распределения случайных промежутков времени Ти Т2, ... . Указанным условиям удовлетворяет пуассоновский процесс X(t), для которого справедливы равенства (5.3) — (5.5) и (5.25), эквивалентные (6.3).

Условие ординарности потока не выполняется, если в один и тот же момент времени возможно поступление в систему массового обслуживания двух и более требований. Если, например, в зону действия ПРО головные части баллистических ракет поступают по одной, то поток ординарный, а при их поступлении группами раз личной численности — неординарный. Когда в неординарном потоке требования поступают одинаковыми по численности группами, можно рассматривать ординарный поток групп требований. Если указанного объединения требований в группы произвести нельзя, поток требований будет неординарным. В дальнейшем будем рас­ сматривать только ординарные потоки требований.

Случайный пойрк требований может быть стационарным или не­ стационарным. Поток требований называется стационарным, если для любого чпсла п неперекрывающихся интервалов {t's, ^ +1)

3S

(s — 1, 2, . .. , п) вероятность поступления в них соответственно ku k2, . .. , kn требований зависит только от этих чисел и от длитель­ ностей указанных промежутков времени, а от расположения интерн валов на оси (У эта вероятность не зависит. При п — 1 из этого условия получаем, что вероятность поступления в систему массо­

мени, а от положения момента времени t на оси О/ эта вероятность не зависит. При стационарном потоке характерным является уста­ новившийся вероятностный режим поступления требований в си­ стему массового обслуживания. Для такого потока математическое ожидание числа требований, поступающих в единицу времени, т. е. интенсивность потока X(t), является постоянной величиной. При­ мерами стационарных потоков являются регулярный и рекуррент­ ный потоки.

Если, как это сделано выше, потоку требований поставить в со­ ответствие пуассоновский случайный процесс X(t), то поток будет стационарным, если этот процесс однородный. Действительно, при неоднородном пуассоновском процессе X(t) мгновенная интенсив­ ность X(t) смены возможных значений (переходов физической си­ стемы в следующие состояния) зависит от времени, а потому поток нестационарный. Если же пуассоновский процесс однородный, то математическое ожидание числа смен состояний в единицу времени для соответствующей физической системы не зависит от времени и потому поток требований стационарный.

Стационарность потока является очень важным свойством, су­ щественно упрощающим исследования и расчеты. Реальные потоки требований не являются строго стационарными, что проявляется при их рассмотрении за большой промежуток времени. Однако если такой поток рассматривать на относительно небольшом интервале времени, то с достаточной для практики точностью часто его можно считать стационарным. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, нельзя считать стационарным, если рассмат­ ривать функционирование этой системы массового обслуживания в течение суток. Однако если ограничиться исследованием работы телефонной станции в течение одного часа, то с достаточной точ­ ностью поток вызовов можно считать стационарным.

Анализ функционирования системы массового обслуживания при нестационарном входном потоке требований значительно более сло­ жен, чем при стационарном потоке. В этом случае, как правило, приходится решать системы дифференциальных уравнений с пере­ менными коэффициентами. Если же входной поток стационарный, то коэффициенты дифференциальных уравнений постоянные. Вме­ сто дифференциальных уравнений при исследовании функциониро­ вания некоторых систем массового обслуживания в последнем слу­ чае нужно решать алгебраические уравнения. Указанные преиму­ щества 'стационарных потоков весьма существенны, так как для

39