Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

многих вероятностных характеристик функционирования систем удается получить простые аналитические выражения. При неста­ ционарном входном потоке требований для получения аналогичных приближенных выражений иногда допустима замена действитель­ ного нестационарного потока требований стационарным потоком.1' Такая замена является математической абстракцией и произво­ дится для упрощения вычислений. Получаемые при этом вероят­ ностные характеристики достаточно точно описывают функциони­ рование системы массового обслуживания, если поток требований мало отличается от стационарного. В противном случае эти харак­ теристики можно использовать лишь для качественного анализа функционирования данной системы.

Следующее свойство входного потока требований — отсутствие последействия. Говорят, что в потоке отсутствует последействие,

заданного числа требований не зависит от числа требований, посту­ пивших в другие интервалы. Отсутствие последействия означает, что требования в систему массового обслуживания поступают неза­ висимо одно от другого. Если же поступление одного требования влечет за собой поступление других требований, то это означает, что в таком потоке имеется последействие. При решении практиче­ ских задач последействие можно не учитывать, если только зави­ симость между поступающими требованиями слабая. Простейшим примером потока с последействием является регулярный поток, в котором моменты поступления требований связаны функциональ­ ной зависимостью. Последействие обычно имеет выходной поток требований, что необходимо учитывать в случае, когда этот поток является входным для другой системы массового обслуживания. Следует отметить, что независимость в совокупности временных ин­ тервалов Ти Т2, ... между поступлениями требований не всегда яв­ ляется необходимым и достаточным условием того, что в потоке отсутствует последействие; при нестационарном потоке последей­ ствия может не быть и при наличии зависимости между этими слу­ чайными величинами.

В приложениях наиболее часто используется так называемый простейший или пуассоновский поток требований, тесно связанный с рассмотренным в § 5 пуассоновским процессом. Входной поток требований называется простейшим, если вероятность Рк (t, т) по­ ступления в систему массового обслуживания любого числа k тре­

40

Функция a(t, т) из (6.4) совпадает с математическим ожида­ нием числа требовании, поступающих в систему массового обслу­ живания за интервал времени от t до т. Данную функцию можно представить в виде

ТТ — t

где Х ( / ) — неотрицательная функция, совпадающая с мгновенной интенсивностью (плотностью) простейшего потока требований.

Согласно (6.4) при т = t + At имеем:

P0(t, £+A£) = exp[ — |Х ( £ - Н) (й\у

О

Л (t, t + \t) = j X{t + ;)сД{ехр [—JX(^ + E)rf;]}.

.0

ший поток требований ординарный.

Если мгновенная интенсивность Х(/) переменная, то простейший поток требований нестационарный. При постоянной интенсивно­ сти X получается

Pk(t, т) = P k(z - t) = , (6.7)

т. е. вероятность поступления любого числа k требований в лю­ бом интервале от t до т зависит только от k и от длительности т — t рассматриваемого интервала. Последнее означает, что простей­ ший поток стационарный; при этом параметр X является математп веским ожиданием числа требований, поступающих в систему мас­ сового обслуживания в единицу времени.

Пусть Р — произвольный фиксированный момент времени. Тогда вероятность Ро(Р, т) того, что в интервале от Р до т > Р в систему массового обслуживания не поступит ни одного требования, согласно

41

Обозначим через Т' случайное время, отделяющее точку Р от момента поступления в систему массового обслуживания очеред­ ного требования. Функция распределения этой случайной величины

F ( t ) = P ( r < t ) = l - P ( r - > t ) = { - Р 0(Р, f + t),

Из последнего выражения следует, что функция распределения случайного времени Т' не зависит от того, что происходило до мо­ мента Р, т. е. не зависит от того, когда и сколько требований посту­ пило в систему до момента Р. Указанное свойство и означает от­ сутствие последействия в нестационарном простейшем потоке тре­ бований.

Для функции распределения Fj (t) случайного промежутка вре­ мени Тj от момента /j_, поступления в систему ( / — 1)-го требова­ ния до момента поступления /-го требования по аналогии с (6.9) получаем

дельных требований являются зависимыми случайными величи­ нами.

При стационарном простейшем потоке мгновенная интенсив­ ность k(t) постоянная, поэтому равенства (6.10) и (6.11) прини­

Из последних выражений следует, что при стационарном про­ стейшем потоке случайные промежутки Ти Т2, ... между поступле­ ниями отдельных требований являются независимыми случайными величинами, распределенными по одному и тому же показательному закону с параметром К. Данный параметр связан с математическим

42

ожиданием t случайного времени Т между поступлениями отдель­ ных требований равенством

Как показано в § 3, необходимым и достаточным условием того, что у однородного случайного процесса X(t) отсутствует последей­ ствие, т. е. что этот процесс марковский, является совпадение за­ кона распределения случайного промежутка временп Тj сохранения этим процессом значения х, (j — 0, 1, ...) с показательным распре­ делением. При Xj — j (/== 0, 1, ...) случайный процесс X(t) можно понимать как число требований, поступивших в систему к мо­ менту t. Так как имеет показательное распределенпе с парамет­ ром Я, то отсюда также следует, что в простейшем стационарном потоке последействие отсутствует. Последнее означает, что время ожидания поступления любого требования не зависит от того, сколько времени прошло после поступления предыдущего требова­ ния и сколько требований уже поступило в систему, т. е. нет ника­ кой зависимости от предыстории процесса. Справедливо и обратное утверждение о том, что если в стационарном ординарном потоке от­ сутствует последействие, то этот поток простейший, т. е. при этом промежутки Tj между поступлениями отдельных требований яв­ ляются независимыми случайными величинами, имеющими показа­ тельное распределение с одним и тем же параметром Я. Для дока­ зательства этого утверждения на временной оси Ot выберем произ­

вольный отрезок t't" и разобьем его па п одинаковых частей длиной

f — Н

Я= — jjX—. Через У5 обозначим число требований, поступивших

в s-м интервале длительностью А, а через У — суммарное число тре-

43

По аналогии с приведенным в § 3 доказательством нетрудно

нарный поток без последействия является простейшим потоком. Кроме простейшего (стационарного или нестационарного) потока

требований иногда рассматриваются другие потоки. Независимые в совокупности случайные промежутки Т\, Т2, ... между поступле­ ниями отдельных требований могут иметь, например, одно и то же

чем a = /j, з— -/D (Tj) . В этом случае можно говорить о нормаль­ ном потоке требований. Аналогично вводятся потоки других типов, в которых промежутки 7^ между отдельными требованиями распре­ делены по каким-либо другим законам. В дальнейшем указанные потоки использоваться не будут, поэтому ограничимся дополнитель­ ным рассмотрением только потоков Эрланга.

Поток Эрланга /-го порядка получается из простейшего стацио­

как каждая из случайных величин Тi имеет показательное распре­ деление с параметром X, а при композиции показательных законов получается гамма-распределение, то плотность распределения слу­ чайной величины Т будет

\1+Ш

f (0 = е~и (t > ° ) . (6.17)

Математическое ожидание и дисперсия времени Т между поступ­ лениями отдельных требований в потоке Эрланга /-го порядка сле­ дующие:

44