ИмееА
r f ^ Г V + 1 |
т г т Г S Н г Т Г 5 + 4 - |
Кроме того, |
|
|
Г (0,5) = |
-/тс; В{а-\-Ь) = |
Г(А)Г(д) |
|
|
Т(а4-Ь) ‘ |
Следовательно, |
|
|
|
NAs): |
/(0, t) |
г ( £ |
+ |
т |
) |
г ( - г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 У ^ |
|
г ( Ё |
+ |
О |
г ( т |
|
|
|
|
|
|
|
2у air/ (0, |
О 5 |
I 2 а + |
2 |
’ |
|
2 |
|
Полагая х = |
1 |
->—2ат, |
находим |
|
|
|
|
|
|
S f e |
+ T ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2a I e~s' (е2ат |
— 1) |
2 |
di, |
|
|
а потому |
оригинал |
для |
изображения |
|
|
|
равен |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a(e2ctx— 1) |
2 . Для |
искомого |
математического |
ожидания числа |
выбросов в единицу времени получаем следующее выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
«в(*> |
*) ■ |
|
/ (0, t) (е2ах |
— 1) |
2 . |
Прп заданных коэффициентах сноса и диффузии марковскпй случайный процесс нормальный (см. § 34). Стационарная плот ность распределения этого процесса записывается в виде
|
1 |
У |
/(>’) = |
2з2 |
о >^2к |
|
|
|
причем а = —т==-. Принимая /(0, |
t) — f(0) = - ^ = , получаем |
]/ 2а |
|
Р / * |
/ге(х) |
(е2:ах |
1) |
§ 40. МНОГОМЕРНЫЙ МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Многомерным случайным процессом |
называется |
совокупность |
из п ( « > 1) случайных функций ХД^), |
-^2(0» •••» |
X a(t) для од |
ного и того же момента времени t. Эти функции можно рассматри
вать как компоненты «-мерного |
случайного вектора R (t) , который |
условно будем записывать в виде |
— |
|
X2(t), ... , Агп(^)]. |
Если Xj(J) — реализация случайной |
функции |
X-^t) |
(j — \, |
2, ... |
... , «), то соответствующая реализация случайного |
вектора |
R{t) |
равна r(t), причем r(t) — [xx(t), |
x2(t), ... , |
•*„(£)]. Возможные зна |
чения случайной |
функции Xj(t) |
в момент |
Д обозначим через х(1) |
( / = 1, 2, .. ., «), |
а случайного вектора R(t) |
в этот же момент вре |
мени — через rt, т. е. rt= [х<г>, |
х 21),{ |
.. ., х ^ } . |
Пусть |
t i < t 2< ... |
... < tm— произвольные моменты времени. Для полного определе ния «-мерного случайного процесса необходимо знать плотности распределения
|
fm(Ri> 1*2, •••, |
«mi |
i ^2> • |
• •i ^m) |
|
(40.1 ) |
при любом |
« г > 1. |
Размерность |
этой |
плотности |
распределения |
равна пт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многомерный случайный процесс называется марковским, если |
условный закон распределения вектора R(tt), |
вычисленный в пред |
положении, |
что R(tk) — rk при tk<.tt, |
не |
зависит |
от того, |
какие |
значения принимал вектор |
R(t) |
при t < t k. В этом случае |
плот |
ность распределения (40.1) |
можно представить в виде |
|
|
/т (Г1) |
^2, ■ . |
« , Гт, |
Д, |
^2) |
■ • |
•) ^ш) |
' |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
= / i ( / b f i ) n / ( rj; |
tiln-i’ |
|
|
(40-2) |
|
|
|
j=2 |
|
|
|
|
|
|
Из этого выражения следует, что «-мерный марковский случайный процесс полностью определяется «-мерной плотностью распреде ления
|
|
fi(r; |
t) = |
f(xu х2, |
* п; 0 |
(40.3) |
компонент вектора R(t) |
в произвольный момент времени t и услов |
ной плотностью распределения |
|
|
/ (Р! |
t)== f |
x lt |
x 2, • • •> агп; x, |
ylt y2, . . |
. , yn) (40.4) |
компонент вектора R{т) |
в момент т > t, |
вычисленной в предполо- |
жении, |
что R(t) = r, т. |
е. |
X j{t)= JC j(/=l, 2, ... , |
«). Через у\ |
в (40.4) обозначено возможное значение случайной величины Х }(т) (/ = 1, 2, .. ., «), т. е. случайной функции Х(Д) в момент т > t.
11 Если каждая из компонент X^(t) (} — 1, 2, ..., «) вектора R(t) является одномерным марковским случайным процессом, то R(t) будет «-мерным марковским случайным процессом. Обратное верно
не всегда, так как из определения //-мерного марковского случай ного процесса не следует, что каждая из компонент вектора R(t) будет одномерным марковским случайным процессом. По этой же причине не всегда будет марковским и процесс, образованный из части исходных компонент.
Плотность распределения (40.3) является неотрицательной функцией, удовлетворяющей условию нормировки
j j • • • j / ( * i , х 2, . . . , х п; t)dxl dx2 . |
. |
. dxn — 1. |
(40.5) |
— оо |
|
|
|
Если хотя бы один из аргументов Xj (j = |
1, |
2, ... , п) этой функ |
ции по абсолютной величине равен бесконечности, то плотность распределения равна нулю. Условная плотность распределения
(40.4) |
также является |
неотрицательной |
функцией и |
обращается |
в нуль, когда хотя |
бы один из аргументов |
|
у-Ц= 1 , 2 , . . . , / / ) по |
'абсолютной |
величине равен |
бесконечности. |
Условие |
нормировки |
в данном случае записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
х и х 2, . |
. |
. , х а- |
т, |
у:, у2, . . . |
|
|
|
jj . . . j f(t, |
|
|
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
• • • . Уп) dyxdy2 . |
. . d y a = |
l . |
|
|
|
(40.6) |
Справедливо также равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
• j f (-*4i • • |
• Xn't t) f (t, Xi, . . |
. , |
-Xn, "C, |
|
. . . |
|
--CO |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
. . . , уn)dXidx2 . |
. |
. dxn = |
f(yu y2, . |
. |
. , y„; |
*)• |
(40.7) |
Уравнение |
Колмогорова — Чепмена |
|
(29.18) |
в |
данном |
случае |
при |
нимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (^j |
* |
• |
• > Хп> |
|
У1» У25 |
• |
• •> Уп) “ |
|
|
= j j |
|
ОО |
• j / (t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
Xi, . |
. |
. |
, XB", |
t |
, Zi, . . |
. , |
Zn) f (t , |
Zi, . . . |
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
•, Zn; |
T, yu . |
. |
. , уJ d z 1dz2 . |
. |
. dza. |
|
(40.8) |
Компоненты непрерывного //-мерного марковского случайного |
процесса удовлетворяют следующим условиям: |
|
|
|
|
|
UmJ ^ M { \ X j (t + |
M ) - X i (t)\!X1(t) = x 1, . . |
m, X a(t) = xn}= |
At—^0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dj (t, Хц x%, , |
. |
. , |
x n) |
( / = 1 , 2 , . |
. |
. , ti)y |
|
(40*9) |
Urn — |
M {[Xi (t + M) - |
|
(t)] \ХЛ{t + |
I t ) |
- |
{t)\Xx(t) = |
|
At—0 |
ДГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■— |
J ( 1 , . . |
. 5 |
— |
X n } — ^js |
-^ li -*-2 ) ' |
• |
• 1 |
Л-n) |
|
|
(/, s= 1, 2, . . |
. , n)\ |
|
|
|
(40.10) |
H m -±rM{ [Х}(t + |
At) - |
Xt(t)]* \Xt ( t + |
At) - |
(t)]k / X, (t) = |
At—0 |
x u . . |
. , |
^ n(t) = x n) = 0 |
при |
|
|
2. |
(40-11) |
~ |
l + |
k > |
Функции aj и из (40.9) и (40.10) имеют тот же смысл, что и для одномерного марковского процесса. При известной условной плотности распределения (40.4) эти функции могут быть найдены по формулам:
со
Плотность распределения (40.3) и условная плотность распределе ния (40.4), рассматриваемые как функции начальных координат хи х2, х а и времени t, удовлетворяют первому уравнению Кол могорова
Плотность распределения !{У\, У2, ..., Уп\ т) и условная плотность распределения (40.4), рассматриваемые как функции конечных ко ординат уI, у2, ... , уп и времени т, удовлетворяют второму (пря мому) уравнению Колмогорова в виде
Рассмотрим физическую систему, функционирование которой описывается следующей системой стохастических дифференциаль ных уравнений:
^ - = b \XAt), |
x a(t), г] + |
|
+ 2 ы * 1 |
( * ) , а д , - |
• . |
(40.16) |
|
( / = 1 , |
2, .... n), |
|
где <?j(*b х 2, • • •. |
*) и |
x 2..............x n, t) (j, 1 = |
1, 2, ... |
... , n) — заданные непрерывные функции, имеющие непрерывные первые производные по каждому аргументу, а (t) {1 = 1, 2, ...
..., п) — взаимно независимые случайные функции, каждая из ко торых является нормальным белым шумом. Без ограничения общ ности можно считать, что
Т, = 0; (х) = 3 (х)_ ( / = 1 , 2, . . . , л). (40.17)
Решением данной системы дифференциальных уравнений является
«-мерный марковский |
случайный процесс R {t) = [.Зч (t) , |
X2(t), .. . |
..., X R{t)]. Плотности |
распределения этого процесса и |
различные |
вероятностные характеристики находятся с помощью уравнений
Колмогорова |
(40.14) и (40.15). Для определения коэффициентов |
flj и bjs |
этих |
уравнений |
проинтегрируем |
(40.16) |
по времени от t |
до t + At. Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
t+At |
|
|
|
Х ^ + |
М ) - Х ^ ) = J |
? j № ( 0 , X t (t), . . . . |
X a(t), |
t]dt + |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
n |
t+ A t |
|
|
|
|
|
+ |
2 |
J Фл № |
• • •. |
(t), t] k (t) dt |
(40.18) |
|
|
i = l |
t |
|
|
|
|
|
|
|
(/= 1, 2, ..., n). |
|
|
Используя определение стохастического интеграла по Ито, с по мощью (40.9) и (40.18), как и при одномерном процессе, находим:
Gj (t, |
х 15 |
• . . , |
x n) = |
<pj ( x b • • |
•, |
xn, t) |
(40.19) |
|
|
|
( / = 1 , |
2, . ... |
n); |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
bis{t, Xj, . . |
. , |
Хд) — |
Фл (Xjj . . |
. , |
xn, |
t) tys; (Xj, . .. , |
xn, t) |
|
|
U,s = 1 ,2 ........ n). |
|
|
(40.20) |
