Файл: Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок.pdf

Таким образом, при изучении устойчивости упругого или упруго­ пластического равновесия тел необходимо, помимо установления точки бифуркации, исследовать послекритические формы равно­ весия. Для устойчивых форм равновесия характерны малые след­ ствия (деформации, перемещения и т. п.), а для неустойчивого — большие следствия при малых начальных возмущениях. В качестве примера рассмотрим две простейшие системы: консервативную (рис. 29, а) и неконсервативную (рис. 29, б). Первая система является классическим примером перехода от устойчивого равновесия к неустойчивому. Исследование второй системы показывает, что стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной, т. е. по Эйлеру — Лагранжу система устойчива при любой нагрузке *.

рой зоне вокруг выработки (упругопластическая неоднородная мо­ дель взаимодействия пород и крепи, см. § 9) и более того — раз­ рушение пород является в ряде случаев эффективным элементом способа управления горным давлением, то рассмотрение пред­ шествующих разрушению форм потери устойчивости локальных областей пород даже при наличии таковых теряет свой смысл.

Наконец, в-третьих, при анализе устойчивости в значительно большей степени, чем при анализе прочности, необходимо учитывать отклонения в реальном объекте от идеализированной расчетной схемы. При сооружении горных выработок в реальном массиве можно отметить следующие «начальные несовершенства»: неоднородность механических характеристик пород вокруг выработки, извилистость контура сечения выработки и развитие трещиноватости пород в ре­ зультате применения буровзрывных работ и т. и. Думается, что влияние перечисленных несовершенств перекрывает влияние малых

лов. М., «Наука», 1909.

79

случае применение статического критерия к оценке устойчивости пород требует дополнительного обоснования по отношению к каж­ дому конкретному объекту.

Устойчивость кольца в упругой плоскости. Наиболее уязвимыми с точки зрения потери устойчивости являются тонкостенные кон­ струкции, например тонкостенная крепь. Рассмотрим устойчивость упругого кольца, подкрепляющего круглое отверстие в упругой плоскости, нагруженной на бесконечности. Кольцо испытывает также статическое давление воды, фильтрующейся через упругий массив. Пусть кольцо имеет непрерывный контакт с упругой плоскостью, при этом касательные напряжения на контакте равны нулю.

Задача решается с использованием гармонических функций [103]. Исследуются формы упругого равновесия, мало отличающиеся от равновесия, соответствующего решению задачи методом класси­ ческой теории упругости. Пусть возмущенный контур кольца имеет

Для возмущенного состояния кольца граничные условия следу­

где рг и р2 — внутренний и наружный контуры кольца (индекс 1 соответствует кольцу, 2 — упругой плоскости). Пользуясь форму­ лами приведения

ап — a r c o s 2ср огѳ s i n 2cp -j- 2т гѲ s in cp c o s cp;

(12.3)

Tnt =- (аѲ— °r) s i n ф COS cp -■ Tr0 COS2ф

и представляя величины напряжении в виде рядов по малому пара­ метру (е), получаем граничные условия для возмущенного состояния:

П/-2 ~ X/-02 “ И При /‘ 7- 0 0 ,

где а ѳ\ а (г0) — напряжения при нулевой форме равновесия.

80

Представим напряжения возмущений на контурах г = R 1 и г =

скости. Подставляя соотношения (12.6), (12.7) в условии (12.4), (12.5), получаем:

Из решения задачи теории упругости о напряженно-деформиро­ ванном состоянии сплошного кругового кольца под действием гармо­ нических нагрузок вида (12.6) (см. § 18) получим приближенное выражение для перемещения средней линии кольца

и для контура выреза упругой плоскости

Приравнивая к нулю правые части равенств (12.15) и (12.16), получим выражения для определения величины критического давле­ ния для свободного кольца и для упругого пространства с круговым вырезом.

1. Свободное кольцо

82