Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

§4.5. КЛАССИФИКАЦИЯ УСЛОВИЙ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Условия проведения летного баллистического эксперимента разнообразны. Поскольку сочетание этих условий существенно влияет на ход решения задач определения и анализа движения и, в частности, на выбор критерия качества решения и статисти­ ческого метода обработки результатов измерений, полезно оста­ новиться на их общей классификации. В основу такой классифи­ кации (рис. 4.5.1) положим три характерных признака:

Рис. 4.5.1. Классификация условий проведения эксперимента

закон распределения ошибок_измерений (нормальный, про­ извольный, т. е. отличный от нормального);

способ комбинации ошибок с измеряемыми функциями

(аддитивный, мультипликативный, аддитивно-мультипликатив­ ный) ;

— вид измерения (дискретное, непрерывное).

Руководствуясь этими признаками, выделим следующие че­ тыре схемы измерений:

— нормальную аддитивную;

128

—ненормальную аддитивную;

—нормальную неаддитивную;

—ненормальную неаддитивную.

Характерным признаком нормальной аддитивной схемы яв­ ляется аддитивная смесь ошибок измерений с измеряемой функ­ цией и'нормальный закон распределения ошибок. Для непрерыв­ ных измерений схема представляется в виде

и полностью характеризуется математическим ожиданием оши­ бок nih(t) и матрицей корреляционных функций Bh(t\t2). Для дискретных измерений схема имеет вид

hi(ti)= Zi{ti)— ul{q,ti) (1= 1, 2, .. ., т; i = \, 2, .. ., N) (4.5.2)

и характеризуется математическим ожиданием trih(ti) и корре­ ляционной матрицей Вп. В ненормальной аддитивной схеме спо­ соб комбинации ошибок измерений с измеряемой функцией предполагается аддитивным, а закон распределения ошибок из­ мерений— произвольным. При этом общий вид схемы непрерыв­ ных (4.5.1) и дискретных (4.5.2) измерений сохраняется. Одна­ ко в данной схеме исчерпывающей характеристикой условий проведения эксперимента для непрерывных измерений является функционал плотности вероятностей p[h (t)], а для дискретных измерений — функция плотности вероятностей (или просто плот­ ность вероятностей)

Р{.Ь) = P[b{h\ А&).

Характерным признаком нормальной неаддитивной схемы яв­ ляется нормальный закон распределения ошибок измерений и отличная от аддитивной комбинация ошибок с измеряемой функ­ цией. К этим комбинациям относятся мультипликативная и адди­ тивно-мультипликативная ошибки. Рассматриваемая схема не позволяет в общем случае разрешить связь измеряемой функции, результата измерений и ошибки относительно последней. Пред­ ставим эту схему для непрерывных измерений выражением

Исчерпывающими характеристиками условий проведения экс­ перимента в данной схеме в случае непрерывных измерений яв­ ляются mh(tf и Bh(tu t2), а в случае дискретных измерений m.h(ti) и Bh (г= 1, 2, ..., N). В ненормальной неаддитивной схеме предполагается отличный от нормального закон распределения

Гла ва V. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

ПРИ АДДИТИВНЫХ ОШИБКАХ ИЗМЕРЕНИЙ

другой стороны, от вида функциональной зависимости между из­ меряемыми и оцениваемыми параметрами.

Критерий качества' определяет,смысл оптимальности получа­ емых оценок, и поэтому в математической статистике метод об­ работки результатов измерений получает свое название обычно по критерию качества. Строгих теоретических обоснований по выбору критерия качества не существует. Выбор критерия каче­ ства осуществляется в какой-то мере произвольно, с учетом ос­

Критерий качества оказывает существенное влияние на ха­ рактер вычислительной процедуры по определению оценок пара­ метров. Еще большее влияние в вычислительном отношении име­ ет вид функциональной зависимости между измеряемыми и оце­ ниваемыми параметрами, который определяется в основном принадлежностью модели движения к тому или иному классу. Чтобы не смешивать эти вопросы, в данной главе рассматрива­ ются методы оценивания параметров только с точки зрения кри­ терия качества. Поэтому измеряемые функции рассматриваются здесь в самом общем виде, без детализации с учетом принадлеж­ ности модели движения к определенному классу. Более полные постановки задач, учитывающие различные модели движения, имеются в следующей главе.

Ошибки измерений считаются аддитивными по отношению к измеряемым функциям, что также принято с той целью, чтобы не усложнять процесс получения уравнений оценок и их анализ дополнительными преобразованиями нелинейного характера.

Таким образом, основное внимание в данной главе уделяется анализу возможностей методов оценивания и взаимосвязи их между собой, что в конечном итоге позволяет получить некото­ рые практические рекомендации. Для конкретизации изложенных здесь сведений читатель может воспользоваться материалами глав III и IV.

§ 5.1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Первое вероятностное обоснование и удобная вычислитель­ ная процедура метода наименьших квадратов были даны К- Ф. Гауссом в начале XIX века. Еще раньше метод использо­ вался А. М. Лежандром в связи с вопросом о вычислениях по­ метных орбит. Тот факт, что возникновение метода наименьших квадратов исторически связывается с экспериментом в космосе, хотя и пассивным, является знаменательным. В наше время, ког­ да человечество приступило к активному экспериментированию в космическом пространстве, метод наименьших квадратов на­ ходит самое широкое распространение в экспериментальной кос­ мической баллистике.

Рассмотрим измеряемую вектор-функцию

Напомним, что у является m-мерным вектором измеряемых параметров, a q есть r-мерный вектор оцениваемых параметров, включающий в себя параметры движения, характеристики моде­ лей движения и измерения. Зависимость (5.1.1) будет фигуриро­ вать в постановках задач данной главы в качестве основной.

Измерительная информация определяется ш-мерным векто­ ром результатов измерений г ( t ), который, являясь непрерывным по уровню измерений, по времени может иметь как непрерывный, так и дискретный характер. Будем рассматривать в дальнейшем случай, когда на интервале [О, Т] измерения производятся в дис­ кретные моменты времени

Заметим, что большинство результатов данной главы может быть легко перенесено на случай непрерывных измерений путем формального предельного перехода в дискретных соотношениях по At-yO. В данном параграфе этот перенос осуществляется пу­ тем замены операции суммирования по индексу i операцией ин­ тегрирования по аргументу t. В последующих параграфах подоб­ ный перенос осуществляется путем перехода от функции плот­

132

ности вероятностей к функционалу плотности вероятностей [4], что связано с некоторыми затруднениями.

Предположим, что математические ожидания ошибок изме­ рений равны нулю:1

или являются известными величинами, относительно которых ошибки измерений могут быть центрированы.

Таким образом, ошибки измерений являются аддитивными и несмещенными. Другой информации об ошибках измерений в ус­ ловиях данного параграфа не предполагается. Отсутствует также какая-либо предварительная информация о векторе парамет­ ров q.

Необходимо в условиях заданной модели измерений (5.1.1) —

(5.1.3) оптимальным образом определить оценки q неизвестных параметров. Всю совокупность измерений, называемых в мате­ матической статистике выборкой, обозначим вектором

\Zi

Введем также в рассмотрение совокупный вектор ошибок из­ мерений

Легко видеть, что векторы z и h имеют размерность, опреде­ ляемую числом mN, которое называется мощностью выборки.

В силу того, что ошибки измерений имеют нулевое математи­

ческое ожидание, необходимо так определить вектор q, чтобы оценки ошибок измерений были близки к нулю. Очевидно, что конкретные значения реализаций каждой ошибки не являются показателем оптимальности решения, важно, чтобы они были близки к нулю в совокупности. Для этого достаточно потребо­ вать, чтобы модуль вектора ошибок

были минимальными.

Оба критерия без дополнительной информации относительно ошибок измерений являются равнозначными в смысле качества

1 Индекс * введен для отличия случайной величины от ее реализации.

133